第二章 第八节　函数与方程-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第八节　函数与方程 内容要求 考题举例 考向规律 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解 2018·全国Ⅰ卷·T9(已知函数零点个数求参数范围) 2017·全国Ⅲ卷·T11(导数与函数的零点) 2016·全国Ⅰ卷·T21(导数与函数的零点) 2016·天津高考·T8(函数单调性与函数的零点) 考情分析：利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度 核心素养：直观想象、逻辑推理 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点。 (2)几个等价关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点。 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根。 2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 1．若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点。函数的零点不是一个“点”，而是方程＝0的实根。 2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分不必要条件。 3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点。 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点。(×) (2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)<0。(×) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点。(√) (4)f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f (x)<g(x)。(√) 2．已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f (x) －4 －2 1 4 7 在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 解析　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数在(2,3)内有零点。故选B。 答案　B 3．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由f ′(x)＝ex＋3>0，所以f (x)在R上单调递增，又f (－1)＝－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x)有且只有一个零点。故选B。 答案　B 4．函数f (x)＝x＋的零点个数是________。 解析　函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f (x)>0，当x<0时，f (x)<0，所以函数没有零点。 答案　0 5．若二次函数f (x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________。 解析　Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4。 答案　(0,4) 考点一 判断函数零点所在区间 【例1】　(1)设f (x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f (x)有零点的区间是(　　) A．[0,1] B．[1,2] C．[－2，－1] D．[－1,0] 解析　函数f (x)在区间[a，b]上有零点，需要f (x)在此区间上的图象连续且两端点函数值异号，即f (a)·≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D。 答案　D (2)若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析　函数y＝f (x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f (a)＝(a－b)(a－c)>0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0。所以f (a)