9.1 正弦定理与余弦定理-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

参 考 答 案 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第 1 课时 基础练习 1. A 【解析】 根据正弦定理， 得 sinA sinB = a b = 5 3 . 2. B 【解析】 ∵A＝105° ， B＝45° ， ∴C＝30°. 由正弦定理， 得 c＝ bsinC sinB = 2 2 姨 sin30° sin45° =2. 3. B 【解析】 由正弦定理知 sinA a = sinC c ， ∴ sinC c = cosC c ， ∴cosC＝sinC ， ∴tanC＝1 ， 又 ∵C∈ （ 0° ， 180° ）， ∴C＝45°. 4. D 【解析】 sinA=sin2B=2sinBcosB ， a=2bcosB. 5. C 【解析】 b a =tan30° ， b=atan30°=2 3 姨 ， c=2b=4 3 姨 ， c-b=2 3 姨 . 6. 【解析】 ∵ a sinA = c sinC ， ∴a＝ csinA sinC = 10sin45° sin30° =10 2 姨 ， B＝180°- （ A+C ） ＝180°- （ 45°+30° ） ＝105°. 又 ∵ b sinB ＝ c sinC ， ∴b＝ csinB sinC = 10sin105° sin30° ＝20sin75°＝ 20× 6 姨 + 2 姨 4 ＝5 （ 6 姨 + 2 姨 ） . 7. B 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 a sinA = b sinB ， 可 得 3 姨 sin 仔 3 = 1 sinB ， ∴sinB＝ 1 2 . 由 a>b ， 得 A>B ， ∴B∈ 0 ， 仔 3 3 $ ， ∴B＝ 仔 6 ， 故 C＝ 仔 2 ， 由勾股定理得 c＝2. 8. D 【解析】 由正弦定理， 得 15 sin60° ＝ 10 sinB ， ∴sinB＝ 10sin60° 15 ＝ 10× 3 姨 2 15 = 3 姨 3 . ∵a>b ， ∴A>B ， 又 ∵A＝60° ， ∴B 为锐角， ∴cosB＝ 1-sin 2 B 姨 ＝ 1- 3 姨 3 3 & 2 姨 ＝ 6 姨 3 . 提升练习 1. D 【解 析 】 b=2asinB ， sinB=2sinAsinB ， sinA= 1 2 ， A= 30° 或 150°. 2. A 【解析】 设内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ∵sinA>sinB ， ∴2RsinA>2RsinB （ R 为 △ABC 外 接圆 的 半 径 ）， 即 a>b ， 故 A>B. 3. （ 3 姨 ， 2 ） 【解析】 在 △ABC 中， B＝60° ， c＝2 ， 由正 弦定理可得 b sinB = c sinC ， 得 c＝ bsinC sinB . 若此三角形有两解， 则 必须满足的条件为 c>b>csinB ， 即 2>b> 3 姨 ， 故答案为 （ 3 姨 ， 2 ） . 4. 1 2 【解析】 ∵0°<A<90° ， ∴0°<2A<180° ， sinAsinB=sinAcosA= 1 2 sin2A≤ 1 2 . 5. 解： （ 1 ） a＝10 ， b＝20 ， a<b ， A＝80°<90° ， 讨论如下： ∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10 3 姨 ， ∴a<bsinA ， ∴ 本题无解 . （ 2 ） a＝2 3 姨 ， b＝6 ， a<b ， A＝30°<90° ， ∵bsinA＝6sin30°＝3 ， a>bsinA ， ∴bsinA<a<b ， ∴ 本题有两解 . 由正弦定理得 sinB＝ bsinA a = 6sin30° 2 3 姨 ＝ 3 姨 2 ， 又 ∵0°<B< 180° ， ∴B＝60° 或 B＝120°. 当 B＝60° 时， C＝90° ， c＝ asinC sinA = 2 3 姨 sin90° sin30° ＝4 3 姨 ； 当 B＝120° 时， C＝30° ， c＝ asinC sinA = 2 3 姨 sin30° sin30° ＝2 3 姨 . ∴ 当 B＝60° 时， C＝90° ， c＝4 3 姨 ； 当 B＝120° 时， C＝30° ， c＝2 3 姨 . 6. ①②③ 【解析】 A>B圳a>b圳sinA>sinB ， 故 ① 成立 . 函 数 y＝cosx 在区间 ［ 0 ， 仔 ］ 上是减函数， ∵A>B ， ∴cosA<cosB ， 故 ② 成立 . 在锐角三角形中， ∵A+B> 仔 2 ， ∴0< 仔 2 -B<A< 仔 2 ， 函数 y＝ sinx 在 区 间 0 ， 仔 2 2 + 上 是 增 函 数 ， 则 有 sinA>sin 仔 2