9.2 正弦定理与余弦定理的应用-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

参 考 答 案 故 A+ 仔 2 =B ， 即 B-A= 仔 2 . （ 2 ） 据 （ 1 ） 的结论有 B=A+ 仔 2 ， C=仔-A-B=仔-A-A- 仔 2 = 仔 2 -2A. 这时， sinA+sinC=sinA+sin 仔 2 -2 2 " A =sinA+cos2A=sinA+1- 2sin 2 A. 由 仔 2 <A+ 仔 2 <仔 ， 0< 仔 2 -2A< 仔 2 ， 0<Ａ< 仔 2 2 % % % % % % % $ % % % % % % % & ， 解得 A∈ 0 ， 仔 ４ 2 " ， 设 t=sinA∈ 0 ， 2 姨 2 2 " . 此 时 ， sinA+sinC=-2t 2 +t+1 0<t< 2 姨 2 2 " ， 因 0<t< 2 姨 2 时， -2t 2 +t+1∈ 2 姨 2 ， 9 8 )2 ， 故 sinA+sinC∈ 2 姨 2 ， 9 8 )2 . 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 第 1 课时 基础练习 1. A 【解析】 ∠ABC＝180°-45°-105°＝30° ， 在 △ABC 中， 由 AB sin45° ＝ 50 sin30° ， 得 AB＝100× 2 姨 2 ＝50 2 姨 . 2. 4 【解析】 由余弦定理， 得 x 2 +9-3x＝13 ， 整理得 x 2 -3x- 4＝0 ， 解得 x＝4 或 x=-1 （舍去） . 3. 7 【解析】 因为 A ， B ， C ， D 四点共圆， 所以 D+B＝仔. 在 △ABC 和 △ADC 中， 由余弦定理可得 8 2 +5 2 -2×8×5×cos （ 仔-D ） ＝ 3 2 +5 2 -2×3×5×cosD ， 整理得 cosD＝- 1 2 ， 代入得 AC 2 ＝3 2 +5 2 -2× 3×5× - 1 2 2 " ＝49 ， 故 AC＝7. 4. C 【解 析 】 由 题 意 知 ， AB＝24× 1 4 ＝6 （ km ）， ∠BAS＝ 30° ， ∠ASB＝75°-30°＝45°. 由正弦定理， 得 BS＝ ABsin∠BAS sin∠ASB ＝ 6sin30° sin45° ＝3 2 姨 （ km ） . 5. D 【解析】 由题意知， ∠A＝∠B＝30° ， 所以 ∠C＝180°-30° -30°＝120° ， 由正弦定理， 得 AB sinC ＝ AC sinB ， 即 AB＝ AC · sinC sinB ＝ 4 · sin120° sin30° ＝4 3 姨 . 6. D 【解析】 依题意知 BC 2 ＝AB 2 +AC 2 -2AB · AC · cos∠BAC ， 即 3＝2 2 +AC 2 -2×2 · AC · cos60° ， AC 2 -2AC+1＝0 ， 解得 AC＝1. 7. B 【解 析 】 由 题 图 ， 可 得 ∠B＝45° ， ∠BAC＝30° ， 故 BC＝ AC · sin∠BAC sin∠B ＝ 60sin30° sin45° ＝30 2 姨 （ m ） . 8. 【解析】 由于 CD⊥ 平面 ABD ， ∠CAD＝45° ， 所以 CD＝ AD. 因 此 只 需 在 △ABD 中 求 出 AD 即 可 ， 在 △ABD 中 ， ∠BDA ＝180° -45° -120° ＝15° ， 由 AB sin15° ＝ AD sin45° ， 得 AD ＝ AB · sin45° sin15° ＝ 800× 2 姨 2 6 姨 - 2 姨 4 ＝800 （ 3 姨 +1 ） （ m ）， 即 山 的 高 度 为 800 （ 3 姨 +1 ） m. 9. D 【解 析 】 设 电 视 塔 的 高 度 为 x m ， 则 BC＝x ， BD＝ 3 姨 x. 在 △BCD 中 ， 由 余 弦 定 理 得 3x 2 ＝x 2 +40 2 -2 ×40x × cos120° ， 即 x 2 -20x-800＝0 ， 解得 x＝-20 （舍去） 或 x＝40 ， 故 电视塔的高度为 40 m. 提升练习 1. D 【 解 析 】 方 法 一 ： 设 AB ＝x m ， 则 BC ＝x m. ∴BD＝ （ 10+x ） m. ∴tan∠ADB＝ AB DB ＝ x 10+x ＝ 3 姨 3 ， 解得 x＝5 （ 3 姨 +1 ） m. ∴A 点离地面的高 AB 等于 5 （ 3 姨 +1 ） m. 方法二： ∵∠ACB＝45° ， ∴∠ACD＝135° ， ∴∠CAD＝180°-135°-30°＝15°. 由 正 弦 定 理 ， 得 AC ＝ CD sin∠CAD · sin ∠ADC ＝ 10 sin15° · sin30°＝ 20 6 姨 - 2 姨 ， ∴AB＝AC