11.2 平面的基本事实与推论-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

参 考 答 案 πr 2 ×8= 1 3 ×π×5 2 ×4+π×2 2 ×8 ， 解得 r= 7 姨 . 8. 解： 设矩形 ADD 1 A 1 的面积为 S ， AB=h ， 所以 V � 长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 =V � 长方体 ADD 1 A 1 -BCC 1 B 1 =Sh. 而三棱锥 C鄄A 1 DD 1 的底面积为 1 2 S ， 高为 h ， 故三棱锥 C鄄A 1 DD 1 的体积为 V � 三棱锥 C-A 1 DD 1 = 1 3 × 1 2 S×h= 1 6 Sh ， 余下部分体积为 Sh- 1 6 Sh= 5 6 Sh. 所以三棱锥 C鄄A 1 DD 1 的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5. 11.2 平面的基本事实与推论 基础练习 1. C 【解 析 】 若 直 线 l∩α=A ， 显 然 有 l埭α ， A∈l ， 但 A∈α ， 故选 C. 2. C 【解析】 ① 正确， 否则， 若四点中有三点共线， 则 四点一定共面； ② 正确； ③ 错误， 可借助三棱锥的三条侧棱 理解， 故 ①② 正确 ． 3. A 【解析】 因为 E ， F ， G ， H 分别是四面体 ABCD 的 棱 AB ， BC ， CD ， DA 上的点， EF 与 HG 交于点 M ， 所以 点 M 是 平 面 ABC 与 平 面 ACD 的 公 共 点 ， 而 两 个 平 面 的 交 线 为 AC ， 所 以 M 一 定 在直线 AC 上， 故选 A. 4. D 【解 析 】 截 面 图 如 图 ， 取 C 1 D 1 的 中 点 S ， BB 1 中 点 M ， DD 1 中 点 为 N ， 易证 PQ∥MN∥RS 且共面， 故选 D． 提升练习 1. C 【解析】 可以根据图形的特点及直线与平面的位置 关系进行判断 . 2. B 【解析】 因为四棱柱中每个面都有四个点， 但这四 个点中没有三点是共线的， 所以 ① 错； 因为三点不共线但四 点可以共面， 所以 ④ 错， 故选 B. 3. C 【解析】 应分点 A ， B ， C 共线与不共线两种情况讨 论， 故选 C. 4. D 【解析】 如图所示， 在 A 1 D 1 上任取一点 P. 过点 P 与直线 EF 作一个平 面 α. 因 为 CD 与 平 面 α 不 平 行 ， 所以它们相交 . 设 α∩CD=Q. 连接 PQ ， 则 PQ 与 EF 必然相交， 即 PQ 为所求直线 . 由 P 点的任意性知， 有无数条直线与 A 1 D 1 ， EF ， CD 都 相交 . 由于点 P 是任取的一点， 则有无数条， 故选 D. 5. 相交 基本性质 3 【解析】 ∵A∈α ， ∴ 面 ABC 与 α 一 定相交， 依据是若两个平面有一个公共点， 那么它们有且只 有一条经过该点的公共直线， 即基本性质 3． 6. 7 【解析】 以三棱锥 S-ABC 的顶点为例： 第一类是平 面两侧为一个点与三个点， 即三棱锥的中截面 A 1 B 1 C 1 所在的 平面， 有 4 个； 第二类是平面两侧都是两个点， 每个位置都 是空间四边形相邻两边中点所在的平面 EFGH ， 有 3 个， 所 以满足题意的平面共有 4+3=7 （个） ． 7. ③④ 【解析】 四条边相等的四边形可能是空间四边形， 故 ① 不正确； 空间四边形的对角线是异面直线， 故 ② 不正确； 梯形是平面图形， 对角线交于一点， 故 ③ 正确； 分上、 中 、 下三部分， 每个部分分空间为 9 个部分， 共 27 个部分， 故 ④ 正确 ． 8. 证明： （ 1 ） 分别连接 EF ， A 1 B ， D 1 C． ∵E ， F 分别是 AB 和 AA 1 的中点， ∴EF∥ 1 2 A 1 B． 又 A 1 D 1 ∥B 1 C 1 ∥BC ， ∴ 四边形 A 1 D 1 CB 为平行四边形 ． ∴A 1 B∥CD 1 ， ∴EF∥CD 1 ． ∴EF 与 CD 1 确定一个平面， ∴E ， F ， D 1 ， C 四点共面 ． （ 2 ） ∵EF∥ 1 2 CD 1 ， ∴ 直线 D 1 F 和 CE 必相交 ． 设 D 1 F∩CE=P ， 如图 ． ∵D 1 F奂 平面 AA 1 D 1 D ， P∈D 1 F ， ∴P∈ 平面 AA 1 D 1 D． 又 CE奂 平面 ABCD ， P∈EC ， ∴P∈ 平面 ABCD． ∴P 是平面 ABCD 与平面 AA 1 D 1 D 的公共点 ． 又平面 ABCD∩ 平面 AA 1 D 1 D=AD ， ∴P∈AD ， ∴CE ， D 1 F ， DA 三线共点 ． 9. 解： （ 1 ） 如图， 设 M ， N ， P 三 点 确 定