第九章 解三角形（感知高考）-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

（人教 B 版）高 中 数 学 必 修 4 由余弦定理可知， 4＝a 2 +b 2 -ab＝ （ a+b ） 2 -3ab ， 即（ ab ） 2 -3ab- 4＝0. ∴ab＝4 （ ab＝-1 舍 去 ）， ∴S △ABC ＝ 1 2 absinC＝ 1 2 ×4×sin 仔 3 ＝ 3 姨 . 20. 解： 由题意得 ∠CMB＝30° ， ∠AMB＝45° ， ∵AB＝BC＝1 ， ∴S △MAB ＝S △MBC ， 即 1 2 MA×MB×sin45°＝ 1 2 MC× MB×sin30° ， ∴MC＝ 2 姨 MA ， 在 △MAC 中， 由余弦定理， 得 AC 2 ＝MA 2 +MC 2 -2MA×MC×cos75° ， ∴MA 2 ＝ 4 3-2 2 姨 cos75° ， 设 M 到 AB 的 距 离 为 h ， 则 由 △MAC 的 面 积 得 1 2 MA× MC×sin75°＝ 1 2 AC×h ， ∴h＝ 2 姨 MA 2 2 ×sin75°＝ 2 姨 2 × 4 3-2 2 姨 cos75° ×sin75°＝ 7+5 3 姨 13 （ km ） . ∴ 塔到直路 ABC 的最短距离为 7+5 3 姨 13 km. 21. 解 ： （ 1 ） 根 据 二 倍 角 公 式 及 题 意 得 2cos 2 A+ 1 2 ＝ 2cosA ， 即 4cos 2 A-4cosA+1＝0 ， ∴ （ 2cosA-1 ） 2 ＝0 ， ∴cosA＝ 1 2 . 又 ∵0<A<仔 ， ∴A＝ 仔 3 . （ 2 ） 根据正弦定理， a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ， 得 b＝ 2 3 姨 sinB ， c＝ 2 3 姨 sinC. ∴l＝1+b+c＝1+ 2 3 姨 （ sinB+sinC ） . ∵A＝ 仔 3 ， ∴B+C＝ 2仔 3 ， ∴l＝1+ 2 3 姨 sinB+sin 2仔 3 - - ' B B ) ＝1+2sin B+ 仔 6 * ' . ∵0<B< 2仔 3 ， ∴ 仔 6 <B+ 仔 6 < 5仔 6 ， ∴ 1 2 <sin B+ 仔 6 * ' ≤1 ， ∴l∈ （ 2 ， 3 ］ . 感知高考 高考真题 1. 3仔 4 【解 析 】 由 正 弦 定 理 ， 得 sinBsinA+sinAcosB=0. ∵A∈ （ 0 ， 仔 ） ， B∈ （ 0 ， 仔 ） ， ∴sinA≠0 ， ∴sinB+cosB=0 ， 即 tanB=-1 ， ∴B= 3仔 4 . 2. A 【解析】 由已知及正弦定理可得 a 2 -b 2 =4c 2 ， 由余弦 定理推论可得 - 1 4 =cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc ， ∴ c 2 -4c 2 2bc =- 1 4 ， ∴ 3c 2b = 1 4 ， ∴ b c = 3 2 ×4=6 ， 故选 A. 3. 6 3 姨 【解析】 由余弦定理得 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB ， 所以 （ 2c ） 2 +c 2 -2×2c×c× 1 2 =6 2 ， 即 c 2 =12 ， 解得 c=2 3 姨 ， c=-2 3 姨 （舍去）， 所以 a=2c=4 3 姨 ， Ｓ △ABC = 1 2 acsinB= 1 2 ×4 3 姨 ×2 3 姨 × 3 姨 2 =6 3 姨 . 4. 12 2 姨 5 ， 7 2 姨 10 【解 析 】 如 图 ， 在 △ABD 中 ， 由 正 弦 定 理 有 AB sin∠ADB = BD sin∠BAC ， 而 AB=4 ， ∠ADB= ３仔 4 ， AC= AB 2 +BC 2 姨 =5 ， sin∠BAC= BC AC = 3 5 ， cos∠BAC= AB AC = 4 5 ， 所以 BD= 12 2 姨 5 · cos∠ABD=cos （ ∠BDC-∠BAC ） =cos 仔 4 cos∠BAC+sin 仔 4 sin∠BAC= 7 2 姨 10 . 5. B 【解析】 设圆心为 O ， 如图 1 ， 连接 OA ， OB ， AB ， OP ， 则 ∠AOB=2∠APB=2茁 ， 所以 S 扇形 OAB = 2茁×2 2 2 =4茁 ， 因为 S 阴 影 =S 扇 形 OAB +S △ABP -S △AOB ， 且 S 扇 形 OAB ， S △AOB 都已确定， 所以当 S △ABP 最大时， 阴影部分面积最大 . 观察图象可知， 当 P 为弧 AB 的中点时 （如图 2 ）， 阴影 部分的面积 S 取最大值， 此 时 ∠BOP = ∠AOP =仔 -茁 ， 面 积 S 的 最 大 值 为 S 阴 影 = S 扇 形 OAB +S △ABP -S △AOB =4茁+S △