第九章 解三角形（综合测试卷）-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

（人教 B 版）高 中 数 学 必 修 4 ∵ BC 12 ×60＝5 ， ∴ 在 BC 上需 5 min ， CD 上需 5 min. ∴ 最长需要 5 min 检查员开始收不到信号， 并持续至少 5 min 才算合格 . 9. 解： （ 1 ） ∵3 （ cosBcosC+sinBsinC ） -1＝6cosBcosC ， ∴3cosBcosC-3sinBsinC＝-1 ， ∴3cos （ B+C ） ＝-1 ， ∴cos （ π-A ） ＝- 1 3 ， ∴cosA＝ 1 3 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 sinA＝ 2 2 姨 3 ， 由面积公式 1 2 bcsinA＝2 2 姨 ， 得 bc＝6 ， ① 根据余弦定理， 得 cosA＝ b 2 +c 2 -a 2 2bc = b 2 +c 2 -9 12 = 1 3 ， 则 b 2 +c 2 ＝13 ， ② ①② 两式联立可得 b＝2 ， c＝3 或 b＝3 ， c＝2. 10. 【解析】 （ 1 ） 由余弦定理及已知条件得 a 2 +b 2 -ab＝4 ， ① 又 S △ABC ＝ 1 2 absinC＝ 3 姨 4 ab＝ 3 姨 ， 得 ab＝4 ， ② ①② 联立解得 a＝2 ， b＝2. （ 2 ） 由题设得 sin （ B+A ） +sin （ B-A ） ＝2sin2A ， 即 sinBcosA＝2sinAcosA ， 当 cosA＝0 时， A＝ π 2 ， B＝ π 6 ， 根据正弦定理， 得 a＝ 4 3 姨 3 ， b＝ 2 3 姨 3 ， 此时 S △ABC ＝ 1 2 absinC＝ 2 3 姨 3 ， 当 cosA≠0 时， sinB＝2sinA ， 由正弦定理得， b＝2a ， ③ 联立 ①③ 解得 a＝ 2 3 姨 3 ， b＝ 4 3 姨 3 ， 则 S △ABC ＝ 1 2 absinC＝ 2 3 姨 3 . 综上可得 S △ABC ＝ 2 3 姨 3 . 第九章综合测试卷 一、 选择题 1. C 【解析】 由 cosC＝ a 2 +b 2 -c 2 2ab <0 ， 得 c 2 >a 2 +b 2 ＝5. ∴c> 5 姨 . 又 c<a+b＝3 ， ∴ 5 姨 <c<3. 2. B 【解析】 由正弦定理， 得 a b ＝ sinA sinB ， ∴a＝ 5 姨 2 b 可 化为 sinA sinB ＝ 5 姨 2 . 又 A＝2B ， ∴ sin2B sinB ＝ 5 姨 2 ， ∴cosB＝ 5 姨 4 . 3. A 【解析】 ∵a＝ 2 姨 bsinA ， ∴ 由正弦定理可得， sinA＝ 2 姨 sinBsinA ， ∵sinA>0 ， ∴sinB＝ 2 姨 2 ， ∴ 由 B 为 锐 角， 可 得 B＝ π 4 . 4. C 【解 析 】 ∵a 2 ＝b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴5＝15+c 2 -2 15 姨 ×c× 3 姨 2 ， 化简得 c 2 -3 5 姨 c+10＝0 ， 即（ c-2 5 姨 ）（ c- 5 姨 ） ＝0 ， ∴c＝2 5 姨 或 c＝ 5 姨 . 5. D 【 解 析 】 由 a sinA ＝ b sinB ， 得 sinB ＝ 4 3 姨 × 1 2 4 ＝ 3 姨 2 . 又 a<b ， ∴∠B＝60° 或 120°. 6. D 【 解 析 】 由 已 知 及 正 弦 定 理 可 得 tanAsin 2 B ＝ tanBsin 2 A ， ∴ sinA cosA · sin 2 B＝ sinB cosB · sin 2 A ， 又 sinA≠0 ， sinB≠0 ， ∴sinBcosB＝sinAcosA ， 即 sin2A＝ sin2B. cosAcosB≠0. 又 ∵A∈ （ 0 ， π ） ， B∈ （ 0 ， π ） ， ∴2A＝2B 或 2A+2B＝π ， ∴A＝B 或 A+B＝ π 2 ， 即 △ABC 是等腰三角形或直角三角形 . 7. C 【解析】 ∵b 2 ＝c （ b+2c ）， ∴b 2 -bc-2c 2 ＝0 ， 即（ b+c ）·（ b- 2c ） ＝0 ， ∴b＝2c. 又 a＝ 6 姨 ， cosA＝ b 2 +c 2 -a 2 2bc ＝ 7 8 ， 解得 c＝2 ， b＝4. ∴S △ABC ＝ 1 2 bcsinA＝ 1 2 ×4×2× 1- 7 8 8 ) 2 姨 ＝ 15 姨 2 . 8. D 【解析】 在 △BCD 中， ∠BDC＝60°+30°＝90° ， ∠BCD＝ 45° ， ∴∠CBD＝90°-45°＝∠BCD ， ∴BD＝CD＝40 ， BC＝ BD 2 +CD 2 姨 ＝ 40 2 姨 . 在 △ACD 中 ， ∠