2021届高考二轮复习理科数学统考版主观题专练：立体几何(6)

立体几何(6) 1．[2020·大同市测试试题]如图，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点． (1)求证AC⊥BC1； (2)求证AC1∥平面CDB1； (3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值． 2．[2020·惠州市高三第一次调研考试试题]如图，在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，PA＝AB＝4，AD＝CD，N是CD的中点． (1)求证：MN∥平面PAD； (2)求点M到平面PBC的距离． 3．[2020·河北省联考试题]如图，四棱锥P ­ ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB的中点． (1)求证：AQ⊥平面PBC； (2)求二面角B ­ PC ­ D的余弦值． 4．[2020·武汉高三毕业班调研] 在四棱锥P ­ ABCD中，∠ACD＝∠CAB＝90°，AD＝eq \r(2)AC＝2，PC⊥AD，PC＝PD. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； (2)若AB＝CD＝PC，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 5. [2020·郑州市高三毕业班质量检测]四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝eq \r(2)，PA＝PB，侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明：PC⊥BD； (2)设BD与平面PAD所成的角为45°，求二面角B ­ PC ­ D的余弦值． 6．[2020·福州市高三期末质量检测]如图，在四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)求证：平面AEF⊥平面PBC； (2)试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°. 立体几何(6) 1. 解析：(1)∵直三棱柱ABC ­ A1B1C1底面三边AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，AC⊥BC.又AC⊥CC1，BC∩CC1＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，又∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1. (2)如图，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1. (3)∵DE∥AC1，∴∠CED或其补角为AC1与B1C所成的角． 在△CED中，ED＝eq \f(1,2)AC1＝eq \f(5,2)，CD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(5,2)，CE＝eq \f(1,2)CB1＝2eq \r(2)，∴cos∠CED＝eq \f(CE2＋DE2－CD2,2·CE·DE)＝eq \f(8,2×2\r(2)×\f(5,2))＝eq \f(2\r(2),5).∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为eq \f(2\r(2),5). 2．解析：(1)解法一　因为△ABC是正三角形，所以BA＝BC，又AD＝CD，所以BD所在的直线为线段AC的垂直平分线，所以M为AC的中点，又N是CD的中点，所以MN∥AD，又AD⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. 解法二　在正三角形ABC中，AB＝BC，因为AD＝CD，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD，所以M为AC的中点．如图，取PC的中点为E，连接ME，NE.因为M为AC的中点，E为PC的中点，所以ME∥PA，又ME⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以ME∥平面PAD，同理可得NE∥平面PAD.又ME⊂平面MEN，NE⊂平面MEN，ME∩NE＝E，所以平面MEN∥平面PAD.又MN⊂平面MEN，所以MN∥平面PAD. (2)设点M到平面PBC的距离为h，在Rt△PAB中，PA＝AB＝4，所以PB＝4eq \r(2).在Rt△PAC中，PA＝AC＝4，所以PC＝4eq \r(2)，在△PBC中，PB＝4eq \r(2)，PC＝4eq \r(2)，BC＝4，所以S△PBC＝4eq \r(7).连接PM，由V三棱锥M ­ PBC＝V三棱锥P ­ BMC，即eq \f(1,3)×4eq \r(7)×h＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×4，解得h＝eq \f(2\r(21),7)，所以点M到平面PBC的距离为eq \f(2\r(21),7). 3．解析：(1)因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB，又AQ⊂平面PAB，所以BC⊥AQ.因为Q为PB的中点，△PAB为等边三角形，所以PB⊥AQ，又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC. (2)解法一　取AB的中点O，连