2021届高考二轮复习理科数学统考版主观题专练：函数与导数(12)

函数与导数(12) 1．[2020·惠州市调研考试试题]已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x). (1)求f(x)的最大值； (2)设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a,2a]上的最小值． 2．[2020·郑州市质量预测]已知函数f(x)＝eq \f(ln x,a)，g(x)＝eq \f(x＋1,x)(x>0)． (1)当a＝1时，求曲线y＝eq \f(fx,gx)在x＝1处的切线方程； (2)讨论函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,gx)在(0，＋∞)上的单调性． 3．[2020·安徽省安庆市高三模拟]已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 4．[2020·安徽省高三联考试题]设函数f(x)＝ex(x－2)－eq \f(1,3)kx3＋eq \f(1,2)kx2. (1)若k＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)存在三个极值点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，求k的取值范围，并证明：x1＋x3>2x2. 5．[2020·南昌市高三年级摸底测试卷]已知函数f(x)＝xex－a(a∈R，e为自然对数的底数)，g(x)＝eq \f(1,2)(x＋1)2. (1)若直线y＝x－1是函数f(x)图象的一条切线，求a的值； (2)对于任意x∈(－eq \f(3,2)，＋∞)，f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范围． 6．[2020·黄冈中学、华师附中等八校联考]已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(a,x)－a(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若关于x的方程f(x)＝ex＋eq \f(a,x)－ax有唯一实数解x0，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，求n的值． 函数与导数(12) 1．解析：(1)f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)(x>0)，令f′(x)＝0得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)在(0，e)上单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝eq \f(1,e)，即f(x)的最大值为eq \f(1,e). (2)∵a>0，∴结合(1)得F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴F(x)在[a,2a]上的最小值F(x)min＝min{F(a)，F(2a)}． ∵F(a)－F(2a)＝ln a－eq \f(1,2)ln(2a)＝eq \f(1,2)lneq \f(a,2)，∴当0<a≤2时，F(a)－F(2a)≤0，F(x)min＝F(a)＝ln a；当a>2时，F(a)－F(2a)>0，F(x)min＝F(2a)＝eq \f(1,2)ln(2a)．综上所述，当0<a≤2时，F(x)在[a,2a]上的最小值为ln a；当a>2时，F(x)在[a,2a]上的最小值为eq \f(1,2)ln(2a)． 2．解析：(1)当a＝1时，曲线y＝eq \f(fx,gx)＝eq \f(xln x,x＋1).y′＝eq \f(1＋ln xx＋1－xln x,x＋12)＝eq \f(ln x＋x＋1,x＋12). 当x＝1时，y′＝eq \f(1,2).所以曲线y＝eq \f(fx,gx)在x＝1处的切线的斜率为eq \f(1,2)，又切线过点(1,0)，所以切线方程为x－2y－1＝0. (2)f′(x)＝eq \f(1,ax)，[eq \f(1,gx)]′＝eq \f(1,x＋12)，F′(x)＝f′(x)－[eq \f(1,gx)]′＝eq \f(1,ax)－eq \f(1,x＋12)＝eq \f(x＋12－ax,axx＋12)，当a<0时，F′(x)<0，函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．当a>0时，令k(x)＝eq \f(x＋12－ax,a)＝eq \f(1,a)x2＋(eq \f(2,a)－1)x＋eq \f(1,a)＝0，则Δ＝1－eq \f(4,a)，当Δ≤0，即0<a≤4时，k(x)≥0，此时F′(x)≥0，函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增；当Δ>0，即a>4时，方程eq \f(1,a)x2＋(eq \f(2,a)－1)x＋eq \f(1,a)＝0有两个不等实根x1，x2，不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2(x1＝eq \f(a－2－\r(a2－4a),2)，x2＝eq \f(a－2＋\r(a2－4a),2))，此时，函数F(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．综上所述，当a<0时，F(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a>4时，F(x)的单调递减区间是