2.2.1 综合法与分析法（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 x2 - x1 > 0,x1 x2 > a b , a x1 x2 < b, ∴ f(x1 ) - f(x2 ) < 0,即 f(x1 ) < f(x2 ), ∴ f(x)在 a b , + ∞[ )上是增函数. 　 　 典例试做 4:证明:如图,过点 A 作直线 AE⊥SB 于点 E, 因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB,所以 AE⊥平面 SBC. 又 BC⊂平面 SBC,所以 BC⊥AE. 因为 SA⊥平面 ABC,所以 SA⊥BC. 又 AE∩SA = A,所以 BC⊥平面 SAB. 所以 BC⊥AB,即 AB⊥BC. 　 　 典例试做 5:(1) 证明:因为 x,y∈R 时,f(x + y) = f(x) + f(y), 所以令 x = y = 0,得 f(0) = f(0) + f(0) = 2f(0), 所以 f(0) = 0. 令 y = - x,则 f(x - x) = f(x) + f( - x) = 0, 所以 f( - x) = - f(x),所以 f(x)为奇函数. (2)设任意的 x1 ,x2 ∈R 且 x1 < x2 , f(x2 ) - f(x1 ) = f(x2 ) + f( - x1 ) = f(x2 - x1 ), 因为 x > 0 时,f(x) < 0, 所以 f(x2 - x1 ) < 0,即 f(x2 ) - f(x1 ) < 0, 所以 f(x)为 R 上的减函数, 所以 f(x)在[ - 3,3]上的最大值为 f( - 3),最小值为f(3). 因为 f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1) = - 6, f( - 3) = - f(3) = 6, 所以函数 f(x)在[ - 3,3]上的最大值为 6,最小值为 - 6. 课堂达标·固基础 1. C　 用三段论形式推导一个结论成立,大前提应该是结论成 立的依据, ∵ 由无限不循环小数都是无理数,π 是无限不循环小数, ∴ π 是无理数, ∴ 大前提是无限不循环小数都是无理数,故选 C. 2. A　 大前提:无理数与无理数之和是无理数,错误;小前提: 2 和 3都是无理数,正确;结论: 2 + 3是无理数也正确. 故只有 大前提错误. 故选 A. 3. D　 用三段论的形式写出的演绎推理是: 大前提 ②矩形的四个内角相等 小前提 ③正方形是矩形 结论 ①正方形的四个内角相等 故选 D. 4. (1)因为 an + 2 = 3an + 1 - 2an, 所以 an + 2 - an + 1 = 2an + 1 - 2an = 2(an + 1 - an), 所以 an + 2 - an + 1 an + 1 - an = 2(n∈N∗ ) 而 a2 - a1 = 2. 所以数列{an + 1 - an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)得 an + 1 - an = 2 n(n∈N∗ ). 所以 an = (an - an - 1 ) + (an - 1 - an - 2 ) + … + (a2 - a1 ) + a1 = 2n - 1 + 2n - 2 + … + 2 + 1 = 2n - 1(n∈N∗ ). 2. 2　 直接证明与间接证明 2. 2. 1　 综合法与分析法 新知导学 　 　 1. (1)已知条件　 定义　 定理　 公理　 推理论证　 (2) 可 知　 未知　 因　 果　 必要　 切入点　 推理途径 2. (1)结论　 充分　 (2)需知　 已知　 充分 预习自测 1. B　 利用分析法易确定命题成立的充分条件. 2. A　 ∵ 分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条 件; ∴ 分析法是从要证的不等式出发,寻求使它成立的充分条件. 故选 A. 3. 9　 ∵ a > 0,b > 0,c > 0,a + b + c = 1, ∴ 1 a + 1 b + 1 c = a + b + c a + a + b + c b + a + b + c c = 3 + b a + a b + c a + a c + c b + b c ≥3 + 2 b a · a b + 2 c a · a c + 2 c b · b c = 9, 当且仅当 a = b = c = 1 3 时等号成立. 4. 因为 a≥b > 0,所以 a - b≥0,3a2 - 2b2 > 3(a2 - b2 ) = 3(a - b)(a + b) > 0, 所以 3a3 + 2b3 - (3a2 b + 2ab2 ) = 3a2 (a - b) + 2b2 (b - a) = (3a2 - 2b2 )(a - b)≥0, 即 3a3 + 2b3 ≥3a2 b + 2ab2