第二章章末整合提升（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 　 　 典例试做 4:假设 a、b、c 中至少有一个不大于 0,不妨设 a≤ 0,若 a <0,则由 abc >0,得 bc <0,由 a + b + c >0 得,b + c > - a >0, ∴ ab + bc + ac = a(b + c) + bc < 0,这与已知 ab + bc + ac > 0 矛盾. 又若 a = 0,则 abc = 0 与 abc > 0 矛盾. 故“a≤0”不成立,∴ a > 0, 同理可证 b > 0,c > 0. 　 　 跟踪练习 4:假设方程 x2 - 2x + 5 - p2 = 0 有实根. 则该方程的判别式 Δ = 4 - 4(5 - p2 ) = 4(p2 - 4)≥0, 解得 p≤ - 2 或 p≥2, 若 p≤ - 2,则 p + 2≤0,2p + 1 < 0, (p + 2)(2p + 1)≥0,与(p + 2)(2p + 1) < 0 矛盾. 若 p≥2,则 p + 2 > 0,2p + 1 > 0, (p + 2)(2p + 1) > 0,与(p + 2)(2p + 1) < 0 矛盾. 所以假设不成立. 故关于 x 的方程 x2 - 2x + 5 - p2 = 0 无实根. 　 　 典例试做 5:要证 logn(n + 1) > logn + 1 (n + 2), 即证 logn(n + 1) - logn + 1 (n + 2) > 0. (∗) ∵ logn(n + 1) - logn + 1 (n + 2) = 1 logn + 1 n - logn + 1 (n + 2) = 1 - logn + 1 n·logn + 1 (n + 2) logn + 1 n , 又∵ 当 n > 1 时,logn + 1 n > 0,logn + 1 (n + 2) > 0 且 logn + 1 n≠logn + 1 (n + 2), ∴ logn + 1 n·logn + 1 (n + 2) < 1 4 [logn + 1 n + logn + 1 (n + 2)] 2 = 1 4 log2n +1[n(n +2)] = 1 4 log2n +1(n 2 +2n) < 1 4 log2n +1(n +1) 2 =1. 故 1 - logn + 1 n·logn + 1 (n + 2) > 0, ∴ 1 - logn + 1 n·logn + 1 (n + 2) logn + 1 n > 0. 这说明(∗)式成立, ∴ logn(n + 1) > logn + 1 (n + 2). 课堂达标·固基础 1. D　 2. C　 原结论不能作为条件使用. 3. B　 由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明 命题时,可以设其否定成立进行推证. 命题“a,b∈N,如果 ab 可被 2 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 2 整除. ”的否定是“a,b 都不能被 2 整除”. 故选 B. 4. x = a 或 x = b　 “且”的否定是“或”. 5. 假设 a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd = 1,则 a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd - ad + bc = 0,即(a + b)2 + (c + d)2 + (a - d)2 + (b + c)2 = 0, 所以 a + b = 0 且 c + d = 0 且 a - d = 0 且 b + c = 0,所以 a = b = c = d = 0 与 ad - bc = 1 矛盾. 所以假设不成立,原结论成立. 章末整合提升 专题突破·启智能 　 　 典例试做 1:C　 本题主要考查数形的有关知识. 图 1 中满足 a2 - a1 = 2,a3 - a2 = 3,…,an - an - 1 = n, 以上累加得 an - a1 = 2 + 3 + … + n,an = 1 + 2 + 3 + … + n, an = n·(n + 1) 2 ,图 2 中满足 bn = n 2 , 一个数若满足三角形数,其必能分解成两个相邻自然数乘 积的一半; 一个数若满足正方形数,其必为某个自然数的平方. ∵ 1 225 = 352 = 49 × 50 2 ,∴ 选 C. 　 　 典例试做 2:VO - BCD · OA → + VO - ACD · OB → + VO - ABD · OC → + VO - ABC·OD → = 0　 将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平 面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积,因此依题意 可知:若 O 为四面体 ABCD 内一点,则有 VO - BCD·OA → + VO - ACD · OB→ + VO - AB