1.1.2 导数的概念（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

数学 （选修 2 - 2·人教 A 版） 学案部分　 详解答案 [学案部分] 第一章　 导数及其应用 1. 1　 变化率与导数 1. 1. 1　 变化率问题 新知导学 　 　 1. r(V2 ) - r(V1 ) V2 - V1 　 小　 2. h(t2 ) - h(t1 ) t2 - t1 　 3. f(x2 ) - f(x1 ) x2 - x1 x1 + Δx　 Δy = f(x2 ) - f(x1 ) 预习自测 1. D　 由导数的定义,可得自变量 x 的增量 Δx 可以是正数、负数,不可以 是 0. 故选 D. 2. D　 函数值的改变量 Δy 是表示函数 y = f(x) 在 x = x0 + Δx 的函数值 与 x = x0 的函数值之差,因此有 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0 ). 3. C　 f(1. 1) - f(1) 1. 1 - 1 = (2 × 1. 1 2 - 4) - (2 × 12 - 4) 0. 1 = 0. 42 0. 1 = 4. 2, 故选 C. 4. x0 + 1 2 Δx　 Δy Δx = 1 2 [(x0 + Δx) 2 + 1] - 1 2 (x20 + 1) Δx = x0 + 1 2 Δx. 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:当自变量从 x0 变化到 x0 + Δx 时,函数的平均变化率为 Δy Δx = f(x0 + Δx) - f(x0 ) Δx = [2(x0 + Δx) 2 + 3] - (2x20 + 3) Δx = 4x0 Δx + 2(Δx) 2 Δx = 4x0 + 2Δx. 当 x0 = 2,Δx = - 1 2 时,平均变化率的值为 4 × 2 + 2 × ( - 1 2 ) = 7. 　 　 跟踪练习 1:当自变量从 x0 变化到 x0 + Δx 时,函数的平均变化率为 Δy Δx = f(x0 + Δx) - f(x0 ) Δx = (x0 + Δx) 3 - x30 Δx = 3x20 + 3x0 Δx + (Δx) 2 当 x0 = 1,Δx = 1 2 时平均变化率的值为 3 × 12 + 3 × 1 × 1 2 + 12( ) 2 = 19 4 . 　 　 典例试做 2:当自变量 x 从 0 变化到 Δx 时,函数的平均变化率为 k1 = sin(Δx) - sin0 Δx = sin(Δx) Δx . 当自变量 x 从 π 2 变化到 π 2 + Δx 时,函数的平均变化率为 k2 = sin π2 + Δx( ) - sin π2 Δx = cos(Δx) - 1 Δx . 由于是在 x = 0 和 x = π 2 的附近的平均变化率,可知 | Δx | 较小,但 Δx 既可为正,又可为负. 当 Δx > 0 时,k1 > 0,k2 < 0,此时有 k1 > k2 ; 当 Δx < 0 时,k1 - k2 = sin(Δx) Δx - cos(Δx) - 1 Δx = sin(Δx) - cos(Δx) + 1 Δx = 2sin Δx - π4( ) + 1 Δx . ∵ Δx < 0,∴ Δx - π 4 < - π 4 ,∵ | Δx | 很小,∴ sin Δx - π4( ) < - 2 2 . 从而有 2sin Δx - π4( ) < - 1,则 2sin Δx - π 4( ) + 1 < 0, 又∵ Δx < 0,∴ k1 - k2 > 0,即 k1 > k2 . 综上,k1 > k2 . 即正弦函数 y = sinx 在 x = 0 附近的平均变化率比在 x = π 2 附近的平均变化率大. 　 　 跟踪练习 2:∵ f(x0 + Δx) - f(x0 ) (x0 + Δx) - x0 = [3(x0 + Δx) 2 + 2] - (3x20 + 2) Δx = 6x0 ·Δx + 3(Δx) 2 Δx = 6x0 + 3Δx. ∴ 函数 f(x) = 3x2 + 2 在区间[x0 ,x0 + Δx] 上的平均变化率为 6x0 + 3Δx. 当 x0 = 1,Δx = 1 2 时,函数在[1,1. 5] 上的平均变化率为 k1 = 6 × 1 + 3 × 0. 5 = 7. 5; 当 x0 = 2,Δx = 1 2 时,函数在[2,2. 5] 上的平均变化率为 k2 = 6 × 2 + 3 × 0. 5 = 13. 5; 当 x0 = 3,Δx = 1 2 时,函数在[3,3. 5] 上的平均变化率为 k3 = 6 × 3 + 3 × 0. 5 = 19. 5, 所以 k1 < k2 < k3 . 　 　 典例试做 3:∵ Δy = f(1 + Δx) - f(1) = (1 + Δx)2 - (1