1.3.2 函数的极值与导数（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:(1)D　 由导函数图象可知函数 f( x) 在( - ∞ ,0) 上增 函数,排除 A,C,在(0,2)上为减函数,排除 B,故选 D. (2)证明:∵ f(x) = lnx x ,∴ f ′(x) =1 - lnx x2 ,令f ′(x) >0. 可知 lnx <1, 即 0 < x < e. 故函数 f(x) = lnx x 的单调增区间为(0,e),又(0,2)⊆(0,e), ∴ 函数 f(x) = lnx x 在(0,2)上为单调增函数. 　 　 跟踪练习 1:( - 1 3 ,1)∪(2,3)　 函数 y = f(x)在区间( - 1 3 ,1) 和 区间(2,3) 上单调递减,所以在区间 ( - 1 3 ,1) 和区间 (2,3) 上,y = f ′(x) < 0,所以f ′(x) < 0 的解集为( - 1 3 ,1)∪(2,3). 　 　 典例试做 2:(1)函数 f(x)的定义域为 R, f ′(x) = 3x2 - 3,令f ′(x) > 0,则 3x2 - 3 > 0. 即 3(x + 1)(x - 1) > 0,解得 x > 1 或 x < - 1. ∴ 函数 f(x)的单调递增区间为( - ∞, -1)和(1, + ∞), 令f ′(x) < 0,则 3(x + 1)(x - 1) < 0,解得 - 1 < x < 1. ∴ 函数 f(x)的单调递减区间为( - 1,1). (2)函数 f(x)的定义域为( - ∞ ,0)∪(0, + ∞ ), f ′(x) = (x + b x )′ = 1 - b x2 , 令f ′(x) > 0,则 1 x2 (x + b)(x - b) > 0, ∴ x > b,或 x < - b. ∴ 函数的单调递增区间为( - ∞ , - b)和( b, + ∞ ). 令f ′(x) < 0,则 1 x2 (x + b)(x - b) < 0, ∴ - b < x < b,且 x≠0. ∴ 函数的单调递减区间为( - b,0)和(0, b). 　 　 跟踪练习 2:f(x)的定义域为( - 1,1);函数 f(x)是奇函数, 所以只需讨论函数在(0,1)上的单调性. 因为f ′(x) = - b(x 2 + 1) (x2 - 1)2 , 当 0 < x < 1 时,x2 + 1 > 0,(x2 - 1)2 > 0, 对于f ′(x) = - b(x 2 + 1) (x2 - 1)2 . 所以当 b > 0 时,f ′(x) < 0. 所以函数 f(x)在(0,1)上是减函数; 当 b < 0 时,f ′(x) > 0,所以函数 f(x)在(0,1)上是增函数; 又函数 f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:当 b > 0 时,f(x)在( - 1,1)上是减函数; 当 b < 0 时,f(x)在( - 1,1)上是增函数. 　 　 典例试做 3:f ′(x) = x2 - ax + a - 1,由题意知f ′( x) ≤0 在区间(1, 4)上恒成立,且f ′(x)≥0 在区间(6, + ∞ )上恒成立. 由f ′(x)≤0 得 x2 - ax + a - 1≤0. ∵ x∈(1,4),∴ x - 1∈(0,3),∴ a≥x 2 - 1 x - 1 = x + 1. ∵ x + 1∈(2,5),而 a≥x + 1 恒成立,∴ a≥5. 由f ′(x)≥0 得 x2 - ax + a - 1≥0. ∵ x∈(6, + ∞ ),∴ x - 1 > 5,∴ a≤ x2 - 1 x - 1 = x + 1. ∵ x + 1∈(7, + ∞ ),而 a≤x + 1 恒成立,∴ a≤7. 经检验 a = 5 和 a = 7 都符合题意, ∴ a 的取值范围是 5≤a≤7. 　 　 跟踪练习 3:(1)f ′(x) = (1 + kx)ekx ,由f ′(x) = (1 + kx)ekx = 0,得 x = - 1 k (k≠0). 若 k > 0,则当 x∈( - ∞ , - 1 k )时,f ′(x) < 0,函数 f(x) 单调递减,当 x∈( - 1 k , + ∞ )时,f ′(x) > 0,函数 f(x)单调递增;若 k < 0,则当 x∈( - ∞ , - 1 k )时,f ′(x) > 0,函数 f(x)单调递增,当 x∈( - 1 k , + ∞)时,f ′(x) <0,函数 f(x)单调递减. ∴ 当 k >0 时,增区间为( - 1 k , + ∞),减区间为( - ∞, - 1 k ),当 k <0 时,增 区间为( - ∞, - 1 k ),减区间为( - 1 k