1.3.3 函数的最大(小)值与导数（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 即 a∈( - ∞ , - 5 27 )时,它的极小值也小于 0, 因此曲线 y = f(x)与 x 轴仅有一个交点,它在(1, + ∞ ) 上;当 f( x) 的极小值 a - 1 > 0, 即 a∈(1, + ∞ )时,它的极大值也大于 0, 因此曲线 y = f(x)与 x 轴也仅有一个交点,它在( - ∞ , - 1 3 )上. 所以当 a∈( - ∞ , - 5 27 )∪(1, + ∞ ) 时,曲线 y = f( x) 与 x 轴仅有 一个交点. 　 　 典例试做 5:f ′(x) = 3x2 + 12mx + 4n, 依题意有 f ′( - 2) = 0, f( - 2) = 0,{ 即 12 - 24m + 4n = 0, - 8 + 24m - 8n + 8m2 = 0,{ 解得 m = 1, n = 3{ 或 m = 2, n = 9.{ 当 m = 1,n = 3 时,f ′(x) = 3x2 + 12x + 12 = 3(x + 2)2 ≥0, 所以 f(x)在 R 上单调递增,无极值,不符合题意; 当 m = 2,n = 9 时,f ′(x) = 3x2 + 24x + 36 = 3(x + 2)(x + 6), 当 - 6 < x < - 2 时f ′(x) < 0,当 x > - 2 时f ′(x) > 0, 故 f(x)在 x = - 2 处取得极值,符合题意. 综上所述,m = 2,n = 9,所以 m + 4n = 38. 课堂达标·固基础 1. C　 f ′(x)的符号由正变负,则 f( x0 ) 是极大值,f ′(x) 的符号由负变 正,则 f(x0 )是极小值. 由图象易知有两个极大值点,两个极小值点. 2. A　 f ′(x) = 3x2 - 2px - q, 由 f ′(1) = 0, f(1) = 0,{ 得 p = 2, q = - 1.{ ∴ f ′(x) = 3x2 - 4x + 1. 令f ′(x) = 0 得 x = 1 3 或 x = 1, 易得 x = 1 3 时,f(x)有极大值 4 27 ,x =1 时,f(x)有极小值 0. 3. 3　 ∵ 函数 f(x) = x3 + a x , ∴ f ′(x) = 3x2 - a x2 , ∵ x = 1 是函数 f(x)的一个极值点, ∴ f ′(1) = 0,即 3 - a = 0, ∴ a = 3. 故答案为 3. 4. f(x)的定义域为(0, + ∞ ),f ′(x) = aex - 1 x . 由题设知,f ′(2) = 0,所以 a = 1 2e2 . 从而 f(x) = 1 2e2 ex - ln x - 1,f ′(x) = 1 2e2 ex - 1 x . 当 0 < x < 2 时,f ′(x) < 0;当 x > 2 时,f ′(x) > 0. 所以 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2, + ∞ )上单调递增. 1. 3. 3　 函数的最大(小)值与导数 新知导学 　 　 1. 一条连续不断　 2. (1)(a,b)　 (2)各极值　 函数值 f(a),f(b)　 最大　 最小 预习自测 1. B　 f ′(x) = - 4x3 + 4x, 由f ′(x) = 0 得 x = ± 1 或 x = 0. 易知 f( - 1) = f(1) = 4 为极大值也是最大值,故应选 B. 2. A　 f ′(x) = e x (x + 1) (x + 2)2 , 令f ′(x) > 0,解得:x > - 1, 令f ′(x) < 0,解得:x < - 1, 故 f(x)在( - 2, - 1)递减,在( - 1, + ∞ )递增, 若 f(x)在( - 2,a)有最小值, 则 a > - 1,故选 A. 3. 32　 令f ′(x) = 3x2 - 12 = 0,得 x = - 2 或 x = 2, 列表得: x - 3 ( - 3, - 2) - 2 ( - 2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + f(x) 17 ↗ 极大值 24 ↘ 极小值 - 8 ↗ - 1 可知 M = 24,m = - 8,∴ M - m = 32. 故答案为 32. 4. ( - 4, - 2)　 f ′(x) = m - 2x,令f ′(x) = 0,得 x = m 2 . 由题设得 - 2 < m 2 < - 1,故 m∈( - 4, - 2). 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:(1)C　 y′ = 3x2 + 2x - 1 = (3x - 1) (x + 1),令 y′ = 0 解 得 x = 1 3 或 x = - 1. 当 x = - 2 时,y