1.4 生活中的优化问题举例（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

数学 （选修 2 - 2·人教 A 版） 当 a≥ e 2 时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x) min = g(1) = e - 2a - b. 　 　 典例试做 3:(1)∵ f(x) = t(x + t)2 - t3 + t -1(x∈R,t >0), ∴ 当 x = - t 时,f(x)的最小值为 f( - t) = - t3 + t - 1,即h(t) = - t3 + t - 1. (2)令 g(t) = h(t) - ( - 2t) = - t3 + 3t - 1, 由 g′(t) = - 3t2 + 3 = 0 及 t > 0,得 t = 1, 当 t 变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表: t (0,1) 1 (1,2) g′(t) + 0 - g(t) ↗ 极大值 ↘ 　 　 由上表可知当 t = 1 时,g(t)有极大值 g(1) = 1, 又在定义域(0,2)内,g(t)有唯一的极值点, ∴ 函数 g(t) 的极大值也就是 g ( t) 在定义域 (0,2 ) 内的最大值 g(t) max = 1. h(t) < - 2t + m 在(0,2)内恒成立, 即 g(t) < m 在(0,2)内恒成立, 当且仅当 g(t) max = 1 < m,即 m > 1 时上式成立, ∴ 实数 m 的取值范围是(1, + ∞ ). 　 　 跟踪练习 3:(1)因为 f(1) = 1,所以 m = 1, 则 f(x) = (x - 1)3 + 1 = x3 - 3x2 + 3x, 而f ′(x) = 3x2 - 6x + 3 = 3(x - 1)2 ≥0 恒成立, 所以函数 f(x)的单调递增区间为( - ∞ , + ∞ ). (2)不等式 f(x) ≥x3 - 1 在区间[1,2] 上恒成立,即不等式 3x2 - 3x - m≤0 在区间[1,2]上恒成立, 即不等式 m≥3x2 - 3x 在区间[1,2]上恒成立,即 m 不小于 3x2 - 3x 在区间[1,2]上的最大值. 因为 x∈[1,2]时, 3x2 - 3x = 3(x - 1 2 )2 - 3 4 ∈[0,6], 所以 m 的取值范围是[6, + ∞ ). 　 　 典例试做 4:(1)设 f(x) = lnx x ,则f ′(x) = 1 - lnx x2 . 所以f ′(1) = 1. 所以 l 的方程为 y = x - 1. (2)令 g(x) = x - 1 - f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方等 价于 g(x) > 0(∀x > 0,x≠1). g(x)满足 g(1) =0,且 g′(x) =1 - f ′(x) = x 2 -1 + lnx x2 . 当 0 < x < 1 时,x2 - 1 < 0,lnx < 0,所以 g′(x) < 0,故g(x)单调递减; 当 x > 1 时,x2 - 1 > 0,lnx > 0,所以 g′(x) > 0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x) > g(1) = 0(∀x > 0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在 直线 l 的下方. 课堂达标·固基础 1. A　 y′ = 6x2 - 6x - 12,由 y′ = 0⇒x = - 1 或 x = 2(舍去). x = - 2 时 y = 1;x = - 1 时 y = 12;x = 1 时 y = - 8. ∴ ymax = 12,ymin = - 8. 故选 A. 2. C　 ∵ 函数 f(x) = - x3 + 3bx(b > 0), ∴ f ′(x) = - 3x2 + 3b, 令f ′(x) = 0,当 b > 0 时,可得 x = ± b, x∈( - ∞ , - b),x∈( b, + ∞ ),f ′(x) < 0,函数是减函数,则函数的 极大值:f( b) = 2b b, 当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1], 可知 b≤1 时,f( b) = 2b b,解得 b = 3 2 2 , 当 b≥1 时,f(1) = - 1 + 3b = 1,无解. 当 b≤0 时,x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1],不成立; 函数 f(x) = - x3 + 3bx,当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1],则 b 的值 是 3 2 2 ,故选 C. 3. 28 9 　 ∵ f ′(x) = - 2x - 3 + 2 = 2(x - 1)(x 2 + x + 1) x3 , ∴ 当 1 < x≤3 时f ′(x) > 0, 当 1 2 < x < 1 时,f ′(x) < 0. ∴ f(x)在[ 1 2 ,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增. ∴ f(x) min =