1.5 第2课时 定积分的概念（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

数学 （选修 2 - 2·人教 A 版） 即抛物线 y = x2 与直线 y = 4 所围成的图形面积为 32 3 . 第 2 课时 　 定积分的概念 新知导学 　 　 1. ∑ n i = 1 b - a n f(ξi )　 定积分 　 lim n→∞ ∑ n i = 1 [ b - a n f(ξi )]　 积分下限 　 积分上限 　 积分区间 　 被积函数 　 积分变量 　 被积式 2. f(x) ≥ 0　 直线 x = a,x = b(a ≠ b)　 曲线 y = f(x) 3. ①k∫ba f(x)dx　 ②∫ b a f1 (x)dx ± ∫ba f2 (x)dx ③∫bc f(x)dx 预习自测 1. B　 解方程组 y = e x y = 1{ ,可得 x = 0 y = 1{ , 所以积分区间为[0,2],故应选 B. 2. C　 由定积分的几何意义知∫π0 sinxdx > 0,∫ π 0 cosxdx = 0,所以 C 不成 立,故应选 C. 3. C　 由积分的几何意义可知选 C. 4. (1) > 　 (2) < 　 (3) < 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:(1) 分割[0,1]: 0 < 1 n < 2 n < … < n - 1 n < n n = 1. (2) 近似代替:作和 1 n( ) 3 · 1 n + 2 n( ) 3 · 1 n + … + n n( ) 3 · 1 n . = ∑ n i = 1 i n( ) 3 · 1 n[ ]. (因为 x3 连续,所以 ξi 可随意取而不影响极限,故我们此处将 ξi 取 为[xi ,xi+1 ] 的右端点) (3) 取极限: ∑ n i = 1 i n( ) 3 · 1 n[ ] = 1 n4 ∑ n i = 1 i3 = 1 n4 n(n + 1) 2[ ] 2 = 1 4 1 + 2 n + 1 n2( ), ∴ ∫10 x3 dx = limn→∞ 1 4 1 + 2 n + 1 n2( )[ ] = 1 4 . (此处用 到 了 求 和 公 式 13 + 23 + … + n3 = (1 + 2 + … + n)2 = n(n + 1) 2[ ] 2 ) 因此∫10 x3 dx = 14 . 　 　 跟踪练习 1:(1)A (2)① 分割,将区间[0,1] 分成 n 等份0 < 1 n < 2 n < … < n - 1 n < n n = 1,分割后的小区间长为 Δx = i n - i - 1 n = 1 n . ② 近似代替, 第 i 个小曲边梯形的面积可近似为 ΔSi ≈ ΔS′i = f(i - 1 n )·Δx = (i - 1 n )2 · 1 n ,(i = 1,2,…,n). ③ 求和,Sn ≈ ∑ n i =1 ΔS′i = ∑ n i =1 f(i - 1 n )Δx = ∑ n i =1 (i - 1 n )2· 1 n = 0· 1 n + ( 1 n )2 · 1 n + … + (n - 1 n )2 · 1 n = 1 n3 ·[12 + 22 + … + (n - 1)2 ] = 1 6 (1 - 1 n )(2 - 1 n ). ④ 取极限 ∫10 x2dx = limn→∞Sn = limn→∞ 16 (1 - 1 n )(2 - 1 n )[ ] = 13 . 　 　 典例试做 2:(1)∫10 2dx 表示的是右图中阴影所示长方 形的面积,由于这个长方形的面积为 2,所以∫10 2dx = 2. (2) 函数 y = 1 + sinx 的图象如图所示, ∫ 5 2 π π 2 (1 + sinx)dx = 2S矩形ABCD = 2π. (3)∫2-2 4 - x2 dx 表示的是图中阴影所示半径为 2 的 半圆的面积,其值为 2π,所以∫2-2 4 - x2 dx = 2π. 　 　 跟踪练习 2:如图 1,阴影部分面积为(2 + 5) × 1 2 = 7 2 ,从而∫10 (3x + 2)dx = 7 2 . 　 　 (2) 如图 2,由于 A 的面积等于 B 的面积,从而∫ 3π 2 　 π2 sinxdx = 0. 　 　 典例试做 3:(1)∫ 2 0 3x3 dx = 3∫ 2 0 x3 dx = 3 ∫ 1 0 x3 dx + ∫ 2 1 x3 dx( ) = 3 14 + 15 4( ) = 12. (2)∫ 4 1 6x2 dx = 6∫ 4 1 x2 dx = 6(∫ 2 1 x2 dx + ∫ 4 2 x2 dx) = 6 7 3 + 56 3( ) = 126. (3)∫ 2 1 (3x2 - 2x3 )dx = 3∫ 2 1 x2 dx - 2∫ 2 1