1.5 第2课时 定积分的概念（练案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

▲ 173 ▲ ▲ 174 ▲ 个小区间为[n + 2(i - 1) n ,n + 2i n ],因此第 i 个小曲边梯形 的面积 ΔSi ≈ 1 n + 2i n · 2 n = 2 n + 2i . 6. B　 将区间[0,2]n 等分后每个区间长度为 2 n ,第 i 个小区 间为[2(i - 1) n , 2i n ](i = 1,2,3,…,n),故应选 B. 7. 3. 92　 5. 52　 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高,求 所有小矩形面积之和. S1 = (0 2 + 1 + 0. 42 + 1 + 0. 82 + 1 + 1. 22 + 1 + 1. 62 + 1) × 0. 4 = 3. 92; S2 = (0. 4 2 + 1 + 0. 82 + 1 + 1. 22 + 1 + 1. 62 + 1 + 22 + 1) × 0. 4 = 5. 52. 8. 3　 将区间[0,a]n 等分,记第 i 个区间为[ a(i - 1) n , ai n ] (i = 1,2,…,n),此区间长为 a n ,用小矩形面积( ai n )2· a n 近 似代替相应的小曲边梯形的面积, 则∑ n i = 1 ( ai n )2 · a n = a3 n3 ·(12 + 22 + … + n2 ) = a 3 3 (1 + 1 n )(1 + 1 2n ) 近似地 等于速度曲线 v(t) = t2 与直线 t = 0,t = a,t 轴围成的曲边 梯形的面积. 依题意得 lim n→∞ a3 3 (1 + 1 n )(1 + 1 2n )[ ] = 9, ∴ a 3 3 = 9,解得 a = 3. 9. 将 区 间 [0,2] 等 分 成 n 个 小 区 间, 则 第 i 个 小 区 间 为 2(i - 1) n , 2i n[ ]. 第 i 个小区间的面积 ΔSi = f 2(i - 1) n( )· 2 n , ∴ Sn = ∑ n i = 1 f 2(i - 1) n( )· 2 n = 2 n ∑ n i = 1 4(i - 1)2 n2 = 8 n3 ∑ n i = 1 (i - 1)2 = 8 n3 [02 + 12 + 22 + … + (n - 1)2 ] = 8 n3 ·(n - 1)n(2n - 1) 6 = 4(n - 1)(2n - 1) 3n2 . S = lim n→∞ Sn = lim n→∞ 4(n - 1)(2n - 1) 3n2 = 4 3 lim n→∞ [(1 - 1 n )(2 - 1 n )] = 8 3 , ∴ 所求曲边梯形面积为 8 3 . 10. (1) 分割:在[0,2] 上等间隔插入 n - 1 个点将区间分成 n 个小区间, 记第 i 个小区间为 2(i - 1) n , 2i n[ ](i = 1,2, …,n),Δt = 2 n , 则汽车在时间段 0, 2 n[ ], 2 n , 4 n[ ], …, 2(n - 1) n ,2n n[ ]上 行 驶 的 路 程 分 别 记 为:Δs1 ,Δs2 , …,Δsn ,有 sn = ∑ n i = 1 Δsi. (2) 近似代替:取 ξi = 2i n (i = 1,2,…,n). Δsi ≈ v 2i n( )·Δt = - 2i n( ) 2 + 50[ ]· 2n = - 4i 2 n2 · 2 n + 100 n (i = 1,2,…,n). (3) 求和:sn = ∑ n i = 1 Δsi = ∑ n i = 1 - 4i 2 n2 · 2 n + 100 n[ ] = - 4 × 1 2 n2 · 2 n - 4 × 2 2 n2 · 2 n - … - 4 × n 2 n2 · 2 n + 100 = - 8 n3 (12 + 22 + … + n2 ) + 100. = - 8· 1 3 1 + 1 n( ) 1 + 1 2n( )+ 100. (4) 取极限: s = lim n→∞ sn = lim n→∞ - 8· 1 3 · 1 + 1 n( ) 1 + 1 2n( )+ 100[ ] = 292 3 (km). B 级 　 素养提升 1. ABD　 将区间[0,5]n 等分,则每一区间的长度为 5 n ,各区 间右端点对应函数值为 y = 15i n , 因此∑ n i = 1 [(15i n )·( 5 n )] 可以表示由直线 x = 0、x = 5、 y = 0 和 y = 3x 围成的图形的面积的近似值. 故选 ABD. 2. ABC　 ∵ △Si = f(ξi )· b - a n S = lim n➝∞ ∑ n i = 1 △Si = lim n➝∞ ∑ n i =