1.6 微积分基本定理（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 所以∫0-3 9 - x2 dx = 94 π. 　 　 典例试做 5:∫ π 2 0 cosxdx - ∫ 3π 2 π 2 cosxdx + ∫ 2π 3π 2 cosxdx　 由 y = cosx 及 x 轴 围成的介于 0 与 2π 之间的平面图形可以分成三部分:[0, π 2 ],[ π 2 , 3π 2 ],[3π 2 ,2π],利用定积分的几何意义可得, 所求面积为∫ π 2 0 cosxdx - ∫ 3π 2 π 2 cosxdx + ∫ 2π 3π 2 cosxdx. 课堂达标·固基础 1. B　 ∫ba f(x)dx 和∫ b a f(t)dt 都表示曲线 y = f(x) 与 x = a,x = b 及 y = 0 围成的曲边梯形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和 位置. 所以其值为 0. 2. C　 在同一坐标系中画出 y = x 与 y = x 的图象如图,由图可见,当 x ∈[0,1] 时,y = x 的图象在 y = x 的图象上方,由定积分的几何意义 知,∫10 xdx < ∫ 1 0 xdx. 3. C　 由定积分的性质可知∫1-1 | x | dx = ∫ 0 -1 | x | dx + ∫10 | x | dx = ∫ 1 0 xdx + ∫10 | x | dx = 2∫ 1 0 | x | dx,故选 C. 4. (1) 原式 = ∫1-3 x2 dx,如图所示. (2)∫10 (1 - x)dx + ∫ 2 1 (x - 1)dx = ∫20 | 1 - x | dx,如图所示. 1. 6　 微积分基本定理 新知导学 　 　 1. 连续 　 f(x)　 F(b) - F(a)　 2. 原函数 　 3. 原函数 　 原函数 4. ① 定义 　 ② 几何意义 　 ③ 微积分基本定理 预习自测 1. - 2　 ∫30 f(x)dx = ∫ 1 0 f(x)dx + ∫31 f(x)dx = - 1, 所以 1 + ∫31 f(x)dx = - 1,所以∫ 3 1 f(x)dx = - 2. 2. 2 3 　 ∵ ( x 3 3 - 1 2 x2 )′ = x2 - x. ∴ 原式 = ( x 3 3 - 1 2 x2 ) | 20 = ( 8 3 - 2) - 0 = 2 3 . 3. (1) 1 2 　 (2)1　 (3) 2 ln2 　 (4)0　 (5) - 1 4 　 (6) 3π 2 8 + 1 (7)24　 (8) 1 2 　 (1)∵ ( x 2 2 )′ = x,∴ ∫10 xdx = x 2 2 | 10 = 1 2 . (2)∵ ( - cosx)′ = sinx,∴ ∫ π 2 0 sinxdx = - cosx | π 2 0 = ( - cos π 2 ) - ( - cos0) = 1. (3)( 2 x ln2 )′ = 2x ,∴ ∫21 2x dx = 2 x ln2 | 21 = 4 ln2 - 2 ln2 = 2 ln2 . (4)∵ (sinx)′ = cosx,∴ ∫0-π cosxdx = sinx | 0-π = 0. (5)∫10 (x3 - x)dx = ( 14 x4 - 1 2 x2 ) | 10 = - 1 4 . (6)∫ π 2 0 (3x + sinx)dx = ( 3 2 x2 - cosx) | π 2 0 = 3 8 π2 + 1. (7)∫3-1 (3x2 - 2x + 1)dx = (x3 - x2 + x) | 3-1 = 24. (8)∫21 1x2 dx = - 1 x | 21 = - 1 2 - ( - 1) = 1 2 . 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:(1)∵ ( 1 3 x3 - 3 2 x2 + x)′ = x2 - 3x + 1, ∴ ∫3-1 (x2 - 3x + 1)dx = ( 13 x3 - 3 2 x2 + x) | 3-1 = (9 - 27 2 + 3) - ( - 1 3 - 3 2 - 1) = 4 3 . (2)∵ (sinx + cosx)′ = cosx - sinx, ∴ ∫ π 4 0 (cosx - sinx)dx = (sinx + cosx) | π 40 = 2 - 1. (3)∵ (ex - 2lnx)′ = ex - 2 x , ∴ ∫21 (ex - 2x )dx = (ex - 2lnx) | 21 = (e2 - 2ln2) - e = e2 - e -2ln2. (4)∵ ∫31 2x 3 - 1 x2 dx = ∫31 (2x - 1x2 )dx,又(x2 + 1 x )′ = 2x - 1