1.7 定积分的简单应用（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

数学 （选修 2 - 2·人教 A 版） | x - 3 | = x - 3,x ≥ 3, 3 - x,x < 3,{ 所以∫20 ( | x - 1 | +| x - 3 | )dx = ∫20 | x - 1 | dx + ∫ 2 0 | x - 3 | dx = ∫10 (1 - x)dx + ∫ 2 1 (x - 1)dx + ∫20 | x - 3 | dx = ∫10 (1 - x)dx + ∫ 2 1 (x - 1)dx + ∫20 (3 - x)dx = (x - 1 2 x2 ) | 10 + ( 1 2 x2 - x) | 21 + (3x - 1 2 x2 ) | 20 = 1 2 + 1 2 + 4 = 5. 　 　 跟踪练习 3:(1)C　 ∫20 f(x)dx = ∫ 1 0 x2 dx + ∫21 (2 - x)dx = 1 3 x3 | 10 + (2x - 1 2 x2 ) | 21 = 1 3 + 1 2 = 5 6 . (2)3　 ∫ 3π 2 0 | sinx | dx = ∫π0 sinxdx + ∫ 3π 2 π ( - sinx)dx = ( - cosx) | π0 + cosx 3π 2 π = 2 + 1 = 3. 　 　 典例试做 4:∵ [(3t2 - 2t + 1)x]′ = 3t2 - 2t + 1, ∴ ∫31 (3t2 - 2t + 1)dx = [(3t2 - 2t + 1)x] | 31 = 3(3t2 - 2t + 1) - (3t2 - 2t + 1) = 6t2 - 4t + 2. 课堂达标·固基础 1. B　 ∫21 (x + 1x )dx = ( 1 2 x2 + lnx) | 21 = 2 + ln2 - 1 2 = ln2 + 3 2 ; 故选 B. 2. 2　 ∫ π 2 - π2 (sinx + cosx)dx = ( - cosx + sinx) | π 2 - π2 = 1 + 1 = 2. 3. 1　 ∫21 (2ax + a + 1)dx = (ax2 + ax + x) | 21 = 4a + 1,所以 4a + 1 = 5, 所以 a = 1. 4. (1)∵ | x - 1 | +| x - 2 | = 3 - 2x,0 ≤ x ≤ 1, 1,1 < x ≤ 2, 2x - 3,2 < x ≤ 3, { ∴ ∫30 ( | x - 1 | +| x - 2 | )dx = ∫ 1 0 (3 - 2x)dx + ∫21 1dx + ∫ 3 2 (2x - 3)dx = (3x - x2 ) | 10 + x | 2 1 + (x 2 - 3x) | 32 = 5. (2)∵ [ 1 2 sin(2x + π 6 )]′ = 1 2 cos(2x + π 6 )·(2x + π 6 )′ = cos(2x + π 6 ), ∴ ∫ π 2 0 cos(2x + π 6 )dx = 1 2 sin(2x + π 6 ) | π 2 0 = 1 2 [sin(2 × π 2 + π 6 ) - sin(2 × 0 + π 6 )] = 1 2 (sin 7π 6 - sin π 6 ) = - 1 2 . 1. 7　 定积分的简单应用 新知导学 　 　 1. (1) ∫ba f(x)dx　 - ∫ b a f(x)dx　 - ∫ca f(x)dx + ∫ b c f(x)dx 　 　 (2)∫ba [f(x) - g(x)]dx　 ∫ b a [f(x) - g(x)]dx 2. ∫ba v(t)dt　 3. ∫ b a F(x)dx 预习自测 1. A　 所求面积 S = ∫ 2π 3 0 2sinxdx = - 2cosx | 2π 3 0 = - 2( - 1 2 - 1) = 3. 2. C　 如果变速直线运动的速度为 v = v(t)(v(t) ≥ 0),那么从时刻 t = a 到 t = b 所经过的路程是∫ba v(t)dt, ∴ ∫ t00 gtdt = 12 gt2 t00 = 1 2 g(t20 - 0) = 1 2 gt20 . 故应选 C. 3. 1 2 　 曲线 y = x2 与 y = cx3 的交点为 1 c , 1 c2( ). 由题意知∫ 1 c 0 (x2 - cx3 )dx = 1 3 x3 - c 4 x4( ) 1 c 0 = 1 12c3 = 2 3 . ∴ c = 1 2 . 4. 4x + 3　 ∵ f(x) 是一次函数,设 f(x) = ax + b(a ≠ 0),则∫10 f(x)dx = ∫10 (ax + b)dx = ∫ 1 0 axdx + ∫10 bdx = 12 a +