第一章章末整合提升（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 = ∫0-1 (2 + 2y)dy + ∫ 1 0 (2 - y - y2 )dy = (2y + y2 ) | 0-1 + (2y - 1 2 y2 - 1 3 y3 ) | 10 = - ( - 2 + 1) + 2 - 1 2 - 1 3 = 13 6 . 　 　 跟踪练习 2:在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图 形,如图所示. 方法一:以 x 为积分变量. 由 y2 = x 5 , y2 = x - 1 { 得两个抛物线的两个交点坐标分别为 A( 54 , 12 ), B( 5 4 , - 1 2 ). 设点 P(1,0),则所求面积 S = 2(∫ 5 4 0 x 5 dx -∫ 5 4 1 x - 1dx) = 2[2 5 15 x 3 2 | 5 4 0 - 2 3 (x -1) 3 2 | 5 41 ] = 2 3 . 方法二:以 y 为积分变量. 由 y 2 = x 5 , y2 = x - 1 { 得两个抛物线的两个交点 坐标分别为 A( 5 4 , 1 2 ),B( 5 4 ,- 1 2 ). 设点 P(1,0),则所求面积 S = 2∫ 1 2 0 (y2 +1 -5y2)dy = 2(y - 4 3 y3) | 1 2 0 = 2 3 . 　 　 典例试做 3:(1) 由 v(t) = 8t - 2t2 ≥ 0 得 0 ≤ t ≤ 4, 即当 0 ≤ t ≤ 4 时,P 点沿 x 轴正方向运动, 当 t > 4 时,P 点向 x 轴负方向运动. 故 t = 6 时,点 P 离开原点后运动的路程 s1 = ∫40 (8t - 2t2 )dt - ∫ 6 4 (8t - 2t2 )dt = (4t2 - 2 3 t3 ) | 40 - (4t 2 - 2 3 t3 ) | 64 = 128 3 . 当 t = 6 时,点 P 的位移为∫60 (8t - 2t2 )dt = (4t2 - 2 3 t3 ) | 60 = 0. (2) 依题意∫t0 (8t - 2t2 )dt = 0, 即 4t2 - 2 3 t3 = 0,解得 t = 0 或 t = 6, t = 0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况, t = 6 是所求的值. 　 　 跟踪练习3:已知列车速度 v0 = 72 km / h = 20 m / s,列车制动时获得 加速度 a = - 0. 4 m / s2 . 设列车由开始制动经过 t s 后的速度为 v,则 v = v0 + at = 20 - 0. 4t. 令 v = 0,得 t = 50(s). 设列车由开始制动到停止时所走的路程为 s,则 s = ∫500 vdt = ∫ 50 0 (20 - 0. 4t)dt = 500(m). 所以列车应在进站前 50 s,离车站 500 m 处开始制动. 　 　 典例试做 4:变力 F(x) 所做的功为 W = ∫20 (2x + 4)dx + ∫ 5 2 (x2 + 2x)dx = (x2 + 4x) | 20 + ( 1 3 x3 + x2 ) | 52 = 12 + 60 = 72(J). 　 　 跟踪练习 4:设 x 表示弹簧伸长的长度(单位:厘米),F(x) 表示加在弹 簧上的力,设 F(x) = kx,依题意得 x = 5 时 F(x) = 100, 所以 k = 20,x = 40 - 25 = 15, 所 做 的 功 为:W = ∫150 20xdx = 10x2 15 0 = 2 250(N·cm) = 22. 5(J). 　 　 典例试做 5:C　 由题意,所围成平面图形如 图所示,由 y 2 = 8x(y > 0), x + y - 6 = 0,{ 得 x = 2, y = 4,{ 所以抛物线 y 2 = 8x(y > 0) 与直 线 x + y - 6 = 0 的交点坐标为(2,4), 方法一:(选 y 为积分变量) S = ∫40 (6 - y - 18 y2 )dy = (6y - 1 2 y2 - 1 24 y3 ) | 40 = 24 - 8 - 1 24 × 64 = 40 3 . 方法二:(选 x 为积分变量) S = ∫20 ( 8x)dx + ∫ 6 2 (6 - x)dx = 8 × 2 3 x 3 2 | 20 + (6x - 1 2 x2 ) | 62 = 16 3 + [(6 × 6 - 1 2 × 62 ) - (6 × 2 - 1 2 × 22 )] = 40 3 . 课堂达标·固基础 1. D　 结合图形,易知 x = 2,x = 1 2 分别为定积分的上、下限,则图形的 面积 S = ∫21 2 1 x dx = lnx 21 2 = l