2.2.1 综合法与分析法（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 数列{an } 当 an = 3·4 n 时, an+1 an = 4, 小前提 所以数列{an } 是等比数列. 结论 　 　 典例试做 2:在平面 β 内任取一条直线 b,平面 γ 是经过点 A 与直线 b 的 平面. 设 γ ∩ α = a. 　 　 ① 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平 行, 大前提 α ∥ β,且 α ∩ γ = a,β ∩ γ = b, 小前提 所以 a ∥ b. 结论 ② 如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任 意一条 直线都垂直, 大前提 l ⊥ α,a ⊂ α, 小前提 所以 l ⊥ a. 结论 ③ 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它也与另一条垂 直, 大前提 a ∥ b,且 l ⊥ a, 小前提 所以 l ⊥ b. 结论 ④ 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直 线和这 个平面垂直, 大前提 因为 l ⊥ b,且直线 b 是平面 β 内的任意一条直线, 小前提 所以 l ⊥ β. 结论 　 　 跟踪练习 2:(1)∵ 有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 大前提 在 △ABC 中,AD ⊥ BC,即 ∠ADB = 90°, 小前提 ∴ △ABD 是直角三角形. 结论 同理,△AEB 也是直角三角形. (2)∵ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点,DM 是斜边上的中线, 小前提 ∴ DM = 1 2 AB. 结论 同理,EM = 1 2 AB. ∴ DM = EM. 　 　 典例试做3:m < n　 当0 < a < 1时,函数f(x) = ax 为减函数,(大前提) a = 5 - 1 2 ∈ (0,1),(小前提) 所以函数 f(x) = ( 5 - 1 2 ) x 为减函数,(结论) 故由 f(m) > f(n),得 m < n. 　 　 跟踪练习 3:(1) 因为 f(x) 是 R 上的偶函数, 所以对一切 x ∈ R,都有 f(x) = f( - x), 即 ex a + a ex = e -x a + a e -x = 1 aex + aex , 整理得( 1 a - a)(ex - 1 ex ) = 0 对一切 x ∈ R 恒成立. 因 ex - 1 ex 不恒为 0,故 1 a - a = 0,所以 a = ± 1. 又 a > 0,所以 a = 1. (2) 任取 x1 ,x2 ∈ (0, + ∞ ) 且 x1 < x2 . 则 f(x1 ) - f(x2 ) = e x1 + 1 ex1 - ex2 - 1 ex2 = (ex2 - ex1 )·( 1 ex1 +x2 - 1) = ex1 (ex2 -x1 - 1)·1 - e x1 +x2 ex1 +x2 . 因为 x1 > 0,x2 > 0 且 x1 < x2 , 所以 x2 - x1 > 0,x1 + x2 > 0, 所以 ex2 -x1 > 1,1 - ex1 +x2 < 0,所以 f(x1 ) - f(x2 ) < 0, 即 f(x1 ) < f(x2 ),故 f(x) 在(0, + ∞ ) 上是增函数. 　 　 典例试做 4:证明:如图,过点 A 作直线 AE ⊥ SB 于点 E, 因为平面 SAB ⊥ 平面 SBC,且交线为 SB,所以 AE ⊥ 平面 SBC. 又 BC ⊂ 平面 SBC,所以 BC ⊥ AE. 因为 SA ⊥ 平面 ABC,所以 SA ⊥ BC. 又 AE ∩ SA = A,所以 BC ⊥ 平 面 SAB. 所以 BC ⊥ AB,即 AB ⊥ BC. 课堂达标·固基础 1. B　 2. D　 直线平行于平面, 则直线可与平面内的直线平行、 异面、 异面 垂直. 故大前提错误,结论错误. 故选 D. 3. D　 用三段论的形式写出的演绎推理是: 大前提 ② 矩形的四个内角相等 小前提 ③ 正方形是矩形 结论 ① 正方形的四个内角相等 故选 D. 2. 2　 直接证明与间接证明 2. 2. 1　 综合法与分析法 新知导学 　 　 1. 已知条件 　 定义 　 公理 　 定理 　 推理论证 　 2. 可知 　 未知 　 因 　 果 　 必要 　 3. P　 Q　 4. 结论 　 充分 　 5. 需知 　 已知 　 充分 　 6. P 预习自测 1. A　 ∵ 分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件; ∴ 分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件. 故选 A. 2. C　 根据综合法的定义可得,综合法是执因导果法,是顺推法,故 ①② 正确. 根据分析法的定义可得,分析法是执果索因法,是直接证法,是逆推 法,故 ③⑤