2.2.2 反证法（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

数学 （选修 2 - 2·人教 A 版） 综上所述,不等式得证. 　 　 跟踪练习 2:要证 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a, 只需证 a - 5 + a < a - 2 + a - 3, 只需证( a - 5 + a)2 < ( a - 2 + a - 3)2 , 即 2a + 2 a2 - 5a - 5 < 2a - 5 + 2 a2 - 5a + 6, 即只需证 a2 - 5a < a2 - 5a + 6, 只需证 a2 - 5a < a2 - 5a + 6, 即证 0 < 6,此不等式恒成立,所以原不等式成立. 　 　 典例试做 3:(1)D　 ∵ a2 + b2 - 1 - a2 b2 = (a2 - a2 b2 ) + (b2 - 1) = a2 (1 - b2 ) + (b2 - 1) = (a2 - 1)(1 - b2 ) = - (a2 - 1)(b2 - 1). ∴ 要证 a2 + b2 - 1 - a2 b2 ≤ 0, 只需证 - (a2 - 1)(b2 - 1) ≤ 0, 即证(a2 - 1)(b2 - 1) ≥ 0. (2)∵ a ⊥ b,∴ a·b = 0, 要证 | a | +| b | | a - b | ≤ 2. 只需证: | a | +| b | ≤ 2 | a - b | 平方得 | a | 2 +| b | 2 + 2 | a |·| b | ≤ 2( | a | 2 +| b | 2 ) 只需证: | a | 2 +| b | 2 - 2 | a |·| b | ≥ 0 成立. 即只需证:( | a | -| b | )2 ≥ 0,它显然成立. 故原不等式得证. 　 　 跟踪练习 3:要证明 f(m) + f(n) > 2f(m + n 2 ), 即 证 (m2 - 2m + 2) + (n2 - 2n + 2) > 2[( m + n 2 )2 - 2·m + n 2 + 2], 即证 2m2 + 2n2 > m2 + 2mn + n2 , 只需证 m2 + n2 > 2mn,即证(m - n)2 > 0, 因为 m > n > 1,所以(m - n)2 > 0 显然成立,故原不等式成立. 　 　 典 例 试 做 4: 要 证 1 a + b + 1 b + c = 3 a + b + c , 即 证 a + b + c a + b + a + b + c b + c = 3,化简得 c a + b + a b + c = 1, 即只需证明 c(b + c) + a(a + b) = (a + b)(b + c),只需证明 c2 + a2 = b2 + ac. 因为三个内角 A,B,C 构成等差数列,所以 2B = A + C, 又因为 A + B + C = 180°,所以 3B = 180°,即 B = 60°, 由余弦定理可得 cos60° = a 2 + c2 - b2 2ac ,所以 c2 + a2 - b2 = ac, 即 c2 + a2 = b2 + ac 成立,因此原等式成立. 　 　 跟踪练习 4:由已知得 2a = x + y, b2 = cx, c2 = by, { 则 x = b 2 c ,y = c 2 b ,即 x + y = b2 c + c 2 b ,从而 2a = b 2 c + c 2 b . 要证(a + 1)2 ≥ (b + 1)(c + 1),只需证 a + 1 ≥ (b + 1)(c + 1), 即证 a + 1 ≥ (b + 1) + (c + 1) 2 ,也就是证 2a ≥ b + c, 因为 2a = b 2 c + c 2 b ,则只需证 b 2 c + c 2 b ≥ b + c 成立即可, 即 b3 + c3 = (b + c)(b2 - bc + c2 ) ≥ (b + c)·bc,即证 b2 + c2 - bc ≥ bc,即证(b - c)2 ≥ 0 成立. 上式显然成立,故(a + 1)2 ≥ (b + 1)(c + 1). 　 　 典例试做 5:b n-1 an + a n-1 bn - 1 a - 1 b = (a n - bn )(an-1 - bn-1 ) (ab) n . ① 当 a > 0,b > 0 时,(an - bn )(an-1 - bn-1 ) ≥ 0,(ab) n > 0, ∴ (a n - bn )(an-1 - bn-1 ) (ab) n ≥ 0,∴ b n-1 an + a n-1 bn ≥ 1 a + 1 b . ② 当 a、b 中有一个为负值时,不妨设 a > 0,b < 0,且 a + b > 0, ∴ a > | b | . ∴ (ab) n > 0,an >