2.3 数学归纳法（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 　 　 跟踪练习 2:若方程没有一个有实根,则 16a2 - 4(3 - 4a) < 0, (a - 1)2 - 4a2 < 0, 4a2 + 8a < 0. { 解得 - 3 2 < a < - 1. 所以若三个方程至少有一个方程有实根, 则实数 a 的取值范围是 {a | a ≥ - 1 或 a ≤ - 3 2 }. 　 　 典例试做 3:根据点 A 和平面 α 的位置关系,分 两种情况证明. (1) 如图,点 A 在平面 α内,假设经过 点 A 至少有平面 α 的两条垂线 AB、AC,那么 AB、AC 是两条相交直线,它们确定一个平面 β,平面 β 和平 面 α 相交于经过点 A 的一条直线 ɑ. 因为 AB ⊥ 平面 α,AC ⊥ 平面 α, a ⊂ α,所以 AB ⊥ a,AC ⊥ a,在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 直线 a 垂直,这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂 线相矛盾. (2) 如图,点 A 在平面 α 外,假设经过点 A 至少 有平面 α 的两条垂线 AB 和 AC(B、C 为垂足) 那么 AB、AC 是两条相交直线,它们确定一个平面 β,平面 β 和平面 α 相交于直线 BC,因为 AB ⊥ 平面 α,AC ⊥ 平面 α,BC ⊂ α, ∴ AB ⊥ BC,AC ⊥ BC, 在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直,这与平面几何中经过 直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾. 综上,经过一点 A 只能 有平面 α 的一条垂线. 　 　 跟踪练习 3:由于 f(x) 在[a,b] 上的图象连续,且 f(a) < 0,f(b) > 0, 即 f(a)·f(b) < 0, 所以 f(x) 在(a,b) 内至少存在一个零点,设零点为 m,则 f(m) = 0. 假设 f(x) 在(a,b) 内还存在另一个零点 n,即 f(n) = 0,则 n ≠ m. 若 n > m,则 f(n) > f(m),即 0 > 0,矛盾; 若 n < m,则 f(n) < f(m),即 0 < 0,矛盾. 因此假设不正确,即 f(x) 在(a,b) 内有且只有一个零点. 　 　 典例试做 4:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两 个不同的交点, 由 y1 = ax 2 + 2bx + c,y2 = bx 2 + 2cx + a,y3 = cx 2 + 2ax + b, 得 Δ1 = (2b) 2 - 4ac ≤ 0,且 Δ2 = (2c) 2 - 4ab ≤ 0,且 Δ3 = (2a) 2 - 4bc ≤ 0. 同向不等式求和得:4b2 + 4c2 + 4a2 - 4ac - 4ab - 4bc ≤ 0,所以 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac ≤ 0. 所以(a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 ≤ 0. 所以 a = b = c. 这与题设 a,b,c 互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证. 　 　 跟踪练习 4:假设存在实数 k,使得 A、B 关于直线 y = ax 对称,设 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ),则 有(1) 直线 l:y = kx + 1 与直线 y = ax 垂直;(2) 点 A、B 在直线 l:y = kx + 1 上;(3) 直线 AB 的中点( x1 + x2 2 , y1 + y2 2 ) 在 直线 y = ax 上, 所以 ka = - 1,① y1 + y2 = k(x1 + x2 ) + 2,② y1 + y2 2 = a x1 + x2 2 . ③{ 由 y = kx + 1, y2 = 3x2 - 1{ 得(3 - k 2 )x2 - 2kx - 2 = 0. 　 　 ④ 由 ②③ 得 a(x1 + x2 ) = k(x1 + x2 ) + 2,　 　 ⑤,由 ④ 知 x1 + x2 = 2k 3 - k2 ,代入 ⑤ 整理得 ak = 3. 这与 ① 矛盾. 所以假设不成立,故不存在实数 k,使得 A、B 关于直线 y = ax 对称. 　 　 典例试做 5:假设方程 x2 - 2x + 5 - k2 = 0 有实数根. 则其判别式 Δ = 4 - 4(5 - k2 ) = 4k2 - 16 ≥ 0, 解得 k ≥ 2 或 k ≤ - 2. 又因为实数 k 满足 2k2 + 3k + 1 < 0,所以 - 1 < k < - 1 2 ,“k ≥ 2 或 k ≤ - 2” 与“ - 1 < k < - 1 2 ” 矛盾. ∴ 反设不成立,原命题成立. 课堂达标·固基础 1. B　 “a > b” 的对立面为“a ≤ b”. 2.