第二章章末整合提升（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

数学 （选修 2 - 2·人教 A 版） 　 　 典例试做 3:(1) 当 n = 1 时,a1 +1 + (a + 1)2 ×1 -1 = a2 + a + 1,命 题显然成立. (2) 假设当 n = k(k ∈ N∗ ) 时,ak+1 + (a + 1)2k-1 能被 a2 + a + 1 整除,则当 n = k + 1 时,ak+2 + (a + 1)2k+1 = a·ak+1 + (a + 1)2·(a + 1)2k-1 = a[ak+1 + (a + 1)2k-1 ] + (a + 1)2 (a + 1)2k-1 - a(a + 1)2k-1 = a[ak+1 + (a + 1)2k-1 ] + (a2 + a + 1)(a + 1)2k-1 . 由归纳假设知,上式能被 a2 + a + 1 整除,故当 n = k + 1 时命题也成 立. 由(1)、(2) 知,对一切 n ∈ N∗ ,命题都成立. 　 　 跟踪练习 3:(1) 显然,当 n = 1 时,命题成立,即 x1 + y1 能被 x + y 整除. (2) 假设当 n = 2k - 1(k ∈ N∗ ) 时命题成立,即(x + y) 能整除 x2k-1 + y2k-1 ,则当 n = 2k + 1 时, x2k+1 + y2k+1 = x2 x2k-1 + x2 y2k-1 - x2 y2k-1 + y2 y2k-1 = x2 (x2k-1 + y2k-1 ) - (x + y)(x - y)y2k-1 , ∵ x + y 能整除(x2k-1 + y2k-1 ), 又 x + y 能整除(x + y)(x - y)y2k-1 ,∴ (x + y) 能整除 x2k+1 + y2k+1 . 由(1)、(2) 可知当 n 为正奇数时,xn + yn 能被 x + y 整除. 　 　 典例试做 4:(1) 当 n = 1 时,x2 - a1 x - a1 = 0, 有一根 S1 - 1 = a1 - 1, 于是(a1 - 1) 2 - a1 (a1 - 1) - a1 = 0,解得 a1 = 1 2 . 当 n = 2 时,x2 - a2 x - a2 = 0,有一根 S2 - 1 = a2 - 1 2 , 于是(a2 - 1 2 )2 - a2 (a2 - 1 2 ) - a2 = 0,解得 a2 = 1 6 . (2) 由题设(Sn - 1) 2 - an (Sn - 1) - an = 0, 即 S2n - 2Sn + 1 - anSn = 0. 当 n ≥ 2 时,an = Sn - Sn-1 ,代入上式得 Sn-1 Sn - 2Sn + 1 = 0. (∗) 由(1) 知 S1 = a1 = 1 2 ,S2 = a1 + a2 = 1 2 + 1 6 = 2 3 . 由(∗) 可 得 S3 = 3 4 . 由此猜想 Sn = n n + 1 ,n = 1,2,3,…. 下面用数学归纳法证明这个结论. ①n = 1 时,已知结论成立. ② 假设 n = k 时结论成立,即 Sk = k k + 1 , 当 n = k + 1 时,由(∗) 得 Sk+1 = 1 2 - Sk ,即 Sk+1 = k + 1 k + 2 . 故 n = k + 1 时结论也成立. 由 ①② 可知 Sn = n n + 1 对所有正整数 n 都成立. 　 　 跟踪练习 4:(1) 当 n = 1 时,a21 + 2a1 = 4S1 ,即 a 2 1 + 2a1 = 4a1 ,即 a21 - 2a1 = 0,解得 a1 = 2(a1 = 0 舍去); 当 n = 2 时,a22 + 2a2 = 4S2 ,即 a 2 2 + 2a2 = 4(2 + a2 ), 即 a22 - 2a2 - 8 = 0,解得 a2 = 4(a2 = - 2 舍去); 当 n = 3 时,a23 + 2a3 = 4S3 ,即 a 2 3 + 2a3 = 4(2 + 4 + a3 ),即 a 2 3 - 2a3 - 24 = 0,解得 a3 = 6(a3 = - 4 舍去); 当 n = 4 时,a24 + 2a4 = 4S4 ,即 a 2 4 + 2a4 = 4(2 + 4 + 6 + a4 ), 即 a24 - 2a4 - 48 = 0,解得 a4 = 8(a4 = - 6 舍去). 由以上结果猜想数列{an } 的通项公式为 an = 2n. (2) 下面用数学归纳法证明{an } 的通项公式为 an = 2n. ① 当 n = 1 时,a1 = 2,由(1) 知,结论成立. ② 假设当 n = k(k ∈ N∗ ) 时,结论成立,即 ak = 2k, 这时有 a2k + 2ak = 4Sk