1.1.3 四种命题间的相互关系（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 逆否命题:若 x2 + x - 6≠0,则 x≠2. (3)原命题:若 a > b,则 ac2 > bc2 ; 逆命题:若 ac2 > bc2 ,则 a > b; 否命题:若 a≤b,则 ac2 ≤bc2 ; 逆否命题:若 ac2 ≤bc2 ,则 a≤b. 　 　 跟踪练习 1:(1)逆命题:若 x、y 全为 0,则 x2 + y2 = 0; 否命题:若 x2 + y2 ≠0,则 x、y 不全为 0; 逆否命题:若 x、y 不全为 0,则 x2 + y2 ≠0. (2)逆命题:若 a、b 都是偶数,则 a + b 是偶数; 否命题:若 a + b 不是偶数,则 a、b 不都是偶数; 逆否命题:若 a、b 不都是偶数,则 a + b 不是偶数. 　 　 典例 2:(1)该命题为真. 逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边形的对角互 补,为真. 否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内 接四边形,为真. 逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则四边形的对 角不互补,为真. (2)该命题为假. 逆命题:若二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共 点,则 b2 - 4ac < 0,为假. 否命题:若二次函数 y = ax2 + bx + c 中 b2 - 4ac≥0,函数图 象与 x 轴无公共点,为假. 逆否命题:若二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴无公共 点,则 b2 - 4ac≥0,为假. 　 　 跟踪练习 2:(1) 逆命题:若方程 mx2 - x + n = 0 有实数根, 则 m·n < 0,假命题. 否命题:若 m·n≥0,则方程 mx2 - x + n = 0 没有实数根,假 命题. 逆否命题:若方程 mx2 - x + n = 0 没有实数根,则 m·n≥0, 真命题. (2)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等,假 命题. 否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等, 假命题. 逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等, 真命题. 　 　 典例 3:甲为真时,Δ = (a - 1)2 - 4a2 < 0, 即 A = {a | a > 1 3 或 a < - 1}; 乙为真时,2a2 - a > 1,即 B = {a | a > 1 或 a < - 1 2 }. (1)甲、乙至少有一个是真命题时,解集为 A,B 的并集,这 时实数 a 的取值范围是{a | a > 1 3 或 a < - 1 2 }. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时,有两种情况: 当甲真乙假时, 1 3 < a≤1; 当甲假乙真时, - 1≤a < - 1 2 . 所以甲、乙中有且只有一个是真命题时,实数 a 的取值范围 为{a | 1 3 < a≤1 或 - 1≤a < - 1 2 }. 　 　 跟踪练习 3:[1,2]　 逆命题为“若 1 < x < 2,则 m - 1 < x < m + 1”. ∵ 逆命题为真命题, ∴ m - 1≤1, m + 1≥2,{ ∴ 1≤m≤2. ∴ m 的取值范围为[1,2]. 　 　 典例 4:逆命题:已知 a、b、c、d 是实数,如果 a + c = b + d,则 a = b,c = d. 假命题. 否命题:已知 a、b、c、d 是实数,如果 a≠b,或 c≠d,则 a + c ≠b + d. 假命题. 课堂达标·固基础 1. B　 2. A　 3. C　 4. B 5. C　 如果平面 α⊥平面 β,则 α 内一条直线不一定垂直于 β;若 直线 l 不平行于平面 α,且直线 l 在平面 α 内,则 α 内有无数 条直线平行于直线 l;若直线 l 不垂直于平面 α,且直线 l 在平 面 α 内,则 α 内有无数条直线垂直于直线 l;所以 A,B,D 都 错;因为平面 α 内存在直线垂直于平面 β,则有平面 α 垂直于 平面 β,所以其逆否命题也成立,即 C 正确,故选 C. 1. 1. 3　 四种命题间的相互关系 新知导学 　 　 1. 逆否命题　 2. 没有关系　 3. 真　 真　 假　 真　 假　 真　 假　 假 预习自测 1. D　 一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论都加以否 定,并且加以互换位置,故选 D. 2. D　 其等价命题为原命题的否命题,“若 p 正确,则 q 正确. ” 故选 D. 3. B　 易知原命题正确,则其逆否命题也正确,原命题的逆命题 “若 a > - 6,则 a > - 3”不正确,其否命题也不正确,故选 B. 4. 如果 x≤1 或 y≤2,则 x + y≤3　 解析:命题“如果 x + y > 3,那 么 x > 1 且 y > 2”的