1.2.1 充分条件与必要条件（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

数学 (选修 2 - 1·人教 A 版） 则其逆否命题为:若 a,b 都小于 3, 则 a + b < 6. 而当 a < 3,且 b < 3 时,必有 a + b < 6,所以逆否命题为真, 从而原命题 p 为真命题. 　 　 典例 3:证明:构造命题 p:若 a2 + b2 = c2 ,则 a,b,c 不可能都 是奇数. 该命题的逆否命题是:若 a,b,c 都是奇数,则 a2 + b2 ≠c2 . 下面证明逆否命题是真命题. 由于 a,b,c 都是奇数,则 a2 ,b2 ,c2 都是奇数,于是 a2 + b2 必 为偶数,而 c2 为奇数,所以有 a2 + b2 ≠c2 ,故逆否命题为真命题, 从而原命题也是真命题. 　 　 跟踪练习 3:原命题的逆否命题为“已知 a、b、c∈R,若 a、b、 c 都大于或等于 1 3 ,则 a + b + c≥1”. 由条件 a≥ 1 3 ,b≥ 1 3 ,c≥ 1 3 , 三式相加得 a + b + c≥1, 显然逆否命题为真命题,所以原命题也为真命题,即已知 a、b、 c∈R,若 a + b + c <1,则 a、b、c 中至少有一个小于 1 3 . 　 　 典例 4:D　 课堂达标·固基础 1. D　 互为逆否的两个命题为等价命题. 2. A　 研究命题之间的关系,将命题写成“若 p 则 q” 形式,然后 依据四种命题的定义解答. 设 p 为“若 A,则 B”,那么 q 为“若􀱑 A,则􀱑 B”,r 为“ 若􀱑 B, 则􀱑 A”. 由于 q 和 r 的条件和结论互换,故 q 和 r 互为逆命题. 3. A　 命题“若 x2 = 4,则 x = 2”的否命题是“若 x2 ≠4,则 x≠2” 是真命题. 4. B　 5. C　 原命题是假命题,所以逆否命题是假命题,逆命题“等腰梯形 是圆的内接四边形”是真命题,所以否命题是真命题. 故选 C. 1. 2　 充分条件与必要条件 1. 2. 1　 充分条件与必要条件 新知导学 　 　 ⇒　 ⇒/ 　 充分　 必要　 不充分　 不必要 预习自测 1. A　 x > 2⇒x > 1,∴ x > 1 是 x > 2 的必要条件. 2. B　 3. 充分　 4. 充分 5. 必要 互动探究·攻重难 　 　 典例 1:( - ∞ , - 8] 　 p:x > - m2 ,q:x < 0 或 x > 4,由条件 知 p⇒q, ∴ - m 2 ≥4,∴ m≤ - 8. 　 　 跟踪练习 1:D　 a > c 且 b > c⇒a + b > 2c, a + b > 2c⇒/ a > c 且 b > c,故选 D. 　 　 典例 2:B　 x > 4⇒x > 3,故①是真命题;x = 1⇒x2 = 1,x2 = 1 ⇒/ x = 1,故②是假命题;函数 f(x) 的定义域关于坐标原点对称 ⇒/ 函数f(x)为奇函数,函数 f(x)为奇函数⇒函数f(x) 的定义域 关于坐标原点对称,故③是真命题,∴ 选 B. 　 　 跟踪练习 2:B　 因为函数图象经过第一、第三、第四象限, 所以 - m n > 0, 1 n < 0, ì î í ïï ïï 解得 m > 0, n < 0.{ 显然 C,D 不正确,选项 A 能满足 y = - m n x + 1 n 的图象过 第一、三、四象限,故选 B. 　 　 典例 3:D　 由 x2 - 3x - 4≤0,解得 - 1≤x≤4, 由 x2 - 6x + 9 - m2 ≤0,可得[x - (3 + m)][x - (3 - m)] ≤ 0①, 当 m = 0 时,①式的解集为{x | x = 3}; 当 m < 0 时,①式的解集为{x |3 + m≤x≤3 - m}; 当 m > 0 时,①式的解集为{x |3 - m≤x≤3 + m}; 若 p 是 q 的充分不必要条件,则集合{x | - 1≤x≤4}是①式 解集的真子集. 可得 m < 0, 3 + m≤ - 1, 3 - m≥4, { 或 m > 0, 3 - m≤ - 1, 3 + m≥4, { 解得 m≤ - 4 或 m≥4. 经验证,当 m = - 4 或 m = 4 时,①式的解集均为{x | - 1≤ x≤7},符合题意. 故 m 的取值范围是( - ∞ , - 4]∪[4, + ∞ ). 故选 D. 　 　 跟踪练习 3:[ - 1,5]　 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件, 所以 Q⊆P, 所以 a - 4≤1, a + 4≥3,{ 即 a≤5, a≥ - 1,{ 所以 - 1≤a≤5. 　 　 典例 4:C　 依题意,所选选项应是不等式 2x2 - 5x - 3≥0 成 立的充分不必要条件. 由于不等式 2x2 - 5x - 3