1.2.1 充分条件与必要条件（练案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

▲ 197 ▲ ▲ 198 ▲ 　 　 练练练案案案及及及考考考案案案部部部分分分 　　　 　　　 详详详解解解答答答案案案 [练案部分] 练案[1] A 级　 基础巩固 1. C　 ①④是命题,②③不是命题. 地球上的四大洋是不完整 的句子. 2. B　 当 a > 1 时,指数函数 f(x) = ax 是增函数,故“ 若 a > 1, 则函数 f(x) = ax 是增函数”是真命题. 3. B　 ①中 Δ = 4 - 4( - k) = 4 + 4k > 0,所以①为真命题;②由 不等式的乘法性质知命题正确,所以②为真命题;③如等腰 梯形对角线相等,不是矩形,所以③是假命题;④由等式性质 知命题正确,所以④是真命题,故选 B. 4. D　 选项 A 中,a > b 得不出 a > b,比如,a = 4,b = - 2时; 选项 B 中,m = 0 时,a < b 得不出 am2 < bm2 ; 选项 C 中, 1 a < 1 b 得不出 a > b,比如,a = - 2,b = 4; 选项 D 中,∵ y = x3 是增函数,∴ a3 > b3 得出 a > b. 故选 D. 5. (1)(2)(4)(5)　 (3)是感叹句不是命题,(1) (2) (4) (5) 是命题. 6. 0　 ∵ 垂直于同一直线的两条直线不一定平行,∴ 命题① 不正确; ∵ 与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面,也 可以异面,∴ 命题②不正确; ∵ 与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交,也可 以平行或异面,∴ 命题③不正确; ∵ 当两平面的相交直线为直线 b 时,两平面内分别可以作出直 线 a 与 c,即直线 a 与 c 不一定共面,∴ 命题④不正确. 综上所述,真命题的个数为 0. 7. (1) 是命题,真命题. (2) 是命题,真命题. (3)、(4) 不是 命题. 8. (1)可写为:“若四棱柱的对角线相等,则它是长方体”,这 个命题是假命题,如底面是等腰梯形的直四棱柱. (2)可写为:“若一个数是整数,则它的平方是非负整数”, 真命题. (3)可写为:“若一个数能被 10 整除,则它既能被 2 整除, 也能被 5 整除”,真命题. B 级　 素养提升 1. A　 x2 - 2x - 8 < 0 解得 - 2 < x < 4,∴ p 是{x | - 2 < x < 4}, 故选 A. 2. D　 (1)若 α⊥γ,β⊥γ,则 α,β 可能相交,也可能平行,所以 不正确. (2)若 m⊂a,n⊂α,m∥β,n∥ β,当直线 m,n 相交时,才能 得出 α∥β,所以不正确. (3)若 m⊂α( 或 n⊂β) 时显 然有 α⊥β 成立. 当 m⊄α 且 n⊄β 时,显然 α,β 相交,设 α∩β = CD, 过直线 m 上一点 N 作 n′∥n, 则 n′⊥α. 因为 m⊥β,所以 m⊥CD,同理 n′⊥CD. 设 m 和 β 的 交 点 是 A, n′ 和 α 的 交 点 是 β, 则 CD ⊥ 平 面 NAB. 将平面 NAB 延展与直线 CD 相交于点 E,连接 AE,BE, 则有 BE⊥CD,AE⊥CD,所以∠BEA 为二面角 α - CD - β 的 平面角. 显然有∠BEA = 90°,即 α⊥β;所以正确. (4)因为 α∩β = l,l⊂α,l⊂β,又 l∥γ,β∩γ = m,根据线面 平行的性质有 l∥m. 同理再由 γ∩α = n,得 l∥n. 所以 m∥n,所以正确. 故选 D. 3. ACD　 y = sin2x =1 - cos2x 2 ,T = 2π 2 = π,故 A 为假命题; 当 M⊆N 时,M∪N = N,故 C 为假命题; 当AB→·BC→ > 0 时,向量AB→与BC→的夹角为锐角,B 为钝角,故 D 为假命题. 4. ②④　 ①在 a > b > 0 两端同乘以 1 ab 可得 1 b > 1 a ,故①错; ②由于 a - 1a( ) - b - 1 b( ) = (a - b) 1 + 1 ab( ) > 0, 故②正确; ③由于2a + b a + 2b - a b = b 2 - a2 (a + 2b)b < 0,即2a + b a + 2b < a b , 故③错; ④由 2 a + 1 b = 2a + 1 b( )·(2a + b) = 5 + 2b a + 2a b ≥5 + 2 2b a ·2a b = 9,当且仅当 2b a = 2a b ,即 a = b = 1 3 时取得 等号,故④正确. 5. ②③　 ①　 ②③⇒①. 证明如下:∵ m∥α,∴ 根据线面平 行的 性 质 定 理, 知 存 在 n ⊂ α, 使 得 m ∥ n. 又 ∵ l ⊥ α, ∴ l⊥n,