第一章章末整合提升（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

数学 (选修 2 - 1·人教 A 版） 数的平方都是正数”,所以(2)(4)均含有全称量词,故为全称命 题,(3)不是命题. 综上所述,(1)为特称命题,(2) (4) 为全称命题,(3) 不是 命题. 　 　 典例 2:(1)(3)是全称命题,(2)(4)是特称命题. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y) 与平面直 角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题. (2)存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是 真命题. (3)存在 x1 = 0,x2 = π,x1 < x2 ,但 tan0 = tanπ,所以该命题 是假命题. (4)存在一个函数 f(x) = 0,它既是偶函数又是奇函数,所 以该命题是真命题. 　 　 跟踪练习 2:C 　 　 典例 3:m≤sinxcosx,∀x∈R 恒成立, 令 f(x) = sinxcosx = 1 2 sin2x, f(x) min = - 1 2 ,∀x∈R, ∴ m≤ - 1 2 , ∴ 实数 m 的取值范围 - ∞ , - 1 2( ]. 　 　 跟踪练习 3:C　 　 　 典例 4:(1) 指所有的末位数字是零的整数都可以被 5 整 除,是全称命题. (2)是指对任意的 x∈(0,1),都有 1 2 < 12( ) x < 1,是全称 命题. (3)是指存在这样的平面四边形,其两条对角线互相垂直, 是特称命题. 课堂达标·固基础 1. D　 A 中含有全称量词“任意的”,因为 a2 + b2 - 2a - 2b + 2 = (a - 1)2 + (b - 1)2 ≥0;故是假命题. B、D 在叙述上没有全称 量词,但实际上是指“所有的”,菱形的对角线不一定相等,所 以 B 是假命题,C 是特称命题,故选 D. 2. B　 3. B　 4. A　 5. - ∞ ,1 + 3( ]　 ∵ x∈ 0, π 3[ ],∴ tanx∈[0, 3], ∴ 1 + tanx∈[1,1 + 3]. ∴ m≤1 + 3,故答案为( - ∞ ,1 + 3]. 1. 4. 3　 含有一个量词的命题的否定 新知导学 　 　 1. (1)∃x0 ∈M,􀱑 p(x0 )　 特称　 (2)∀x∈M,􀱑 p(x)　 全 称　 2. 不是　 不都是　 ≤　 一个也没有　 至少有两个　 存在 x∈A使 p(x)假 预习自测 1. D　 ∵ 命题 p:∀x > 0,总有 lgx > 0, ∴ 命题􀱑 p 为:∃x0 > 0,使得 lgx0 ≤0,故选 D. 2. D　 命题 p:∃x0 ∈(0, + ∞ ),x 2 0 ≤x0 - 2,故􀱑 p:∀x∈(0, + ∞ ),x2 > x - 2. 3. D　 因为:命题 p:∃x0 ∈R,x 2 0 - x0 + 1 4 ≤0, 所以:∀x∈R,x2 - x + 1 4 > 0,故选 D. 4. D　 因为全称命题的否定是特称命题,故“ ∀x > 0,2x > sinx” 的否定是“∃x0 > 0,2x0 ≤sinx0 ”,故选 D. 5. 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 原命题为全称命题,写其否定是要将全称量词改为存在量词. 互动探究·攻重难 　 　 典例 1:(1)¬ p:∀x∈R,x2 + 2x + 2 > 0. (2)¬ p:所有的三角形都不是等边三角形. (3)¬ p:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数. (4)¬ p:存在一个四边形的四个顶点不共圆. 　 　 跟踪练习 1:(1) 命题的否定:存在一个二次函数的图象开 口不向下. (2)命题的否定:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“ 每 一个平行四边形都不是菱形”. 　 　 典例 2:(1) 省略了全称量词“任何一个”,命题的否定为: 有些可以被 5 整除的数,末位不是 0. (2)省略了全称量词“所有”,命题的否定为:存在一个能被 3 整除的数,不能被 4 整除. 　 　 跟踪练习 2:(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一 个”,因此,􀱑 p:存在一个素数不是奇数,是真命题. (2)省略了全称量词“任意”,即“任意两条与同一平面所成 的角相等的直线平行”,􀱑 p:存在两条与同一平面所成的角相 等的直线不平行,是真命题. 　 　 典例 3:B　 ax2 + 4x + a≥ - 2x2 + 1 是真命题,即不等式 ax2 + 4x + a≥ - 2x2 + 1 对∀x∈R 恒成立,即(a + 2)x2 + 4x + (a - 1)≥0 恒成立. 当 a + 2 = 0 时,不符合题意. 故有 a + 2 > 0 Δ≤0{ ,即 a + 2 > 0, 16 - 4(a + 2)(a - 1)≤0{ , 解得 a≥2. 　 　 跟踪练习 3