2.1 曲线与方程（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 (2)逆命题:∀a,b∈R,若 a2 = ab,则 a = b. (假) 否命题:∀a,b∈R,若 a≠b,则 a2 ≠ab. (假) 逆否命题:∀a,b∈R,若 a2 ≠ab,则 a≠b. (真) (3)逆命题:对于平面向量 a、b、c,若 b = c,则 a·b = a·c. (真) 否命题:对于平面向量 a、b、c,若 a·b≠a·c,则 b≠c. (真) 逆否命题:对于平面向量 a、b、c,若 b≠c,则 a·b≠a·c. (假) 　 　 典例 4:(1)􀱑 p:“没有一个三角形是直角三角形”. (假) (2)􀱑 p:“方程 2x + 1 = 0 无负实根”. (假) (3)􀱑 p:“存在某个三角形,两边之和小于或等于第三边”. (假) (4)􀱑 p:“对任意实数 q < 0,方程 x2 + 2x + q = 0 都有实数 根”. (真) 　 　 典例 5:B　 由 10a > 10b 得 a > b,由 lga > lgb 可得 a > b > 0, 故“10a > 10b”是“lga > lgb”的必要不充分条件. 　 　 典例 6:B　 由题设条件知 P(a,2a), ∵ PA→与PB→的夹角为钝角,∴ PA→·PB→ < 0, ∵ PA→ = ( - 1 - a,1 - 2a),PB→ = (3 - a,3 - 2a), ∴ ( - 1 - a)(3 - a) + (1 - 2a)(3 - 2a) < 0, 解得 0 < a < 2, 又∵ PA→与PB→方向相反时,a = 1, ∴ 0 < a < 1 或 1 < a < 2,故选 B. 　 　 典例 7:C　 若 p 为真时,有 - 2 - a < 1 < a, a > 0,{ 得 a > 1. 若 q 为真时,有 - 2 - a < 2 < a, a > 0,{ 得 a > 2. ∵ p∨q 为真,p∧q 为假, ∴ p,q 中一真一假. 当 p 真 q 假时, a > 1, 0 < a≤2,{ ⇒1 < a≤2. 当 p 假 q 真时, 0 < a≤1, a > 2,{ 无解. ∴ 1 < a≤2,故选 C. 　 　 典例 8:(1)是全称命题,􀱑 p:∃x0 ∈R,x 2 0 - x0 + 1 4 < 0. 因 为对于任意的 x,x2 - x + 1 4 = x - 12( ) 2 ≥0,所以􀱑 p为假命题. (2)是全称命题,􀱑 p:存在一个正方形,它不是矩形. 正方 形是特殊的矩形,所以􀱑 p 为假命题. (3)是特称命题,􀱑 p:∀x∈R,x2 + 2x + 8 > 0. 因为对于任意的 x,x2 + 2x + 8 = (x + 1)2 + 7≥7 > 0,所以 􀱑 p为真命题. (4)是特称命题,􀱑 p︰∀x∈R,x3 + 1≠0. 因为 x = - 1 时, x3 + 1 = 0,所以􀱑 p 为假命题. 即时巩固 1. D　 2. C　 当 a > 0,b > 0 时,a + b 2 ≥ ab当且仅当 a = b 时取等号. 反之,当a + b 2 ≥ ab时, a,b 同号时,即 a > 0,b > 0 或 a < 0,b < 0 而当 a < 0,b < 0 时,a + b 2 < ab ∴ a > 0,b > 0 成立, ∴ 选 C. 3. 末位数字是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除　 末位数字不是 0 且不是 5 的整数,不能被 5 整除 解析:“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除” 的否定形式是 “末位数字是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除”,“ 末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的否命题是“末位数字不是 0 且不是 5 的整数,不能被 5 整除”. 4. ④　 ①为充分不必要,②中若 a = 0,则不成立,应为必要不充 分条件,③中为充要条件. 5. 由 p 且 q 为真命题得 p,q 同为真命题, 若 p 真,则 a > 1; 若 q 真,则 a 2 ≤2 4 - 2a > 0 { 即 a < 2, 所以实数 a 的取值范围是(1,2). 第二章　 圆锥曲线与方程 2. 1　 曲线与方程 新知导学 　 　 (2)曲线的方程　 方程的曲线 预习自测 1. D　 2. C　 3. C　 4. A　 5. 8x2 + 2x + 8y2 - 4y - 5 = 0 互动探究·攻重难 　 　 典例 1:C　 直接法:原说法写成命题形式即“若点 M(x,y) 是曲线 l 上的点,则 M 点的坐标适合方程F(x,y) = 0”,其逆否 命题即“若 M 点的坐标不适合方程 F(x,y) = 0,则 M 点不在曲 线 l 上”,故选 C. 特值法:作如图所