2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 ∴ 顶点 A 的轨迹方程为 x 2 9 + y 2 8 = 1(x≠ ± 3). 　 　 典例 2:(1)因为焦点在 y 轴上,所以设其标准方程为 y 2 a2 + x2 b2 = 1(a > b > 0). 因为 2a = 26,2c = 10,所以 a = 13,c = 5. 所以 b2 = a2 - c2 = 144. 所以所求椭圆方程为 y2 169 + x 2 144 = 1. (2)设所求椭圆方程为 Ax2 + By2 = 1(A > 0,B > 0,A≠B), 依题意,得 3A + 4B = 1, 12A + B = 1,{ 解得 A = 1 15 , B = 1 5 , ì î í ïï ïï 所以所求椭圆的标准方程为 x2 15 + y 2 5 = 1. 　 　 跟踪练习 2:(1)设椭圆的标准方程为x 2 a2 + y 2 b2 =1,(a >b >0), ∵ 焦点在 x 轴上,2c = 2,∴ a2 = b2 + 1, 又椭圆经过点 P 1, 32( ),∴ 1 b2 + 1 + 9 4 b2 = 1,解之得 b2 = 3, ∴ a2 = 4. ∴ 椭圆的标准方程为 x 2 4 + y 2 3 = 1. (2)∵ 椭圆 9x2 + 4y2 = 36 的焦点为(0, ± 5),则可设所求 椭圆方程为 x2 m + y 2 m + 5 = 1(m > 0), 又椭圆经过点(2, - 3),则有 4 m + 9 m + 5 = 1, 解得 m = 10 或 m = - 2(舍去), 即所求椭圆的方程为 x2 10 + y 2 15 = 1. 　 　 典 例 3: 由 椭 圆 的 定 义, 有 | PF1 | + | PF2 | = 2a,而在△F1 PF2 中,由余弦定理得, | PF1 | 2 + | PF2 | 2 - 2 | PF1 | · | PF2 | ·cosθ = | F1 F2 | 2 = 4c2 , ∴ ( | PF1 | + | PF2 | ) 2 - 2 | PF1 | · | PF2 | - 2 | PF1 | · | PF2 | cosθ = 4c 2 , 即 4a2 - 4c2 = 2 | PF1 | · | PF2 | (1 + cosθ) ∴ S△PF1F2 = 1 2 | PF1 | · | PF2 | sinθ = b 2 · sinθ 1 + cosθ = b2 tan θ 2 . 　 　 跟踪练习 3:由余弦定理得 cos60° = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 - 4c2 2 | PF1 | | PF2 | = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 - 25 2 | PF1 | | PF2 | , ∴ | PF1 | · | PF2 | = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 - 25 = ( | PF1 | + | PF2 | ) 2 - 2 | PF1 | | PF2 | - 25 ∴ 3 | PF1 | · | PF2 | = (2 × 5) 2 - 25 = 75, ∴ | PF1 | · | PF2 | = 25, ∴ S△PF1F2 = 1 2 | PF1 | | PF2 | sin60° = 1 2 ·25· 3 2 = 25 3 4 . 　 　 典例 4:(1)原方程可化为 x 2 2 + y 2 2 k = 1. 因为方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 k > 0, 2 k > 2,{ 解得 0 < k < 1. 所以 k 的取值范围是(0,1). (2)原方程可化为 x 2 1 k2 + y 2 - 8 k = 1. 依题意,得 - 8 k > 0, - 8 k > 1 k2 , - 8 k - 1 k2 = 7, ì î í ï ï ï ï ïï 解得 k < 0, k < - 1 8 , k = - 1 或 k = - 1 7 . ì î í ï ï ï ï 所以 k 的值为 - 1 或 - 1 7 . 　 　 跟踪练习 4:依题意,得 k - 3 > 0, 5 - k > 0, k - 3≠5 - k. { 解得 3 < k < 5 且 k≠4. 所以 k 的取值范围是(3,4)∪(4,5). 　 　 典例 5:∵ a > c,即 (x - 1)2 + y2 > (x + 1)2 + y2 ,解得 x < 0. 又点 B 不在 x 轴上,∴ x≠ - 2. 故所求的轨迹方程为 x2 4 + y 2 3 = 1( - 2 < x < 0). 课堂达标·固基础 1. D　 由椭圆的方程可知 a = 7,点 M 到两个焦点的距离之和为 2a = 14. 因为点 M 到其左焦点的距离是