2.2.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 典例 6:当焦点在 x 轴上时,解法同上,所求椭圆的标准方 程为 x2 40 + y 2 10 = 1. 当焦点在 y 轴上时,设椭圆方程为 y 2 a2 + x 2 b2 = 1(a > b > 0), 由题意,得 c a = 3 2 9 a2 + 4 b2 = 1 c2 = a2 - b2 ì î í ï ïï ï ï ,解得 b2 = 25 4 ,a2 = 25. 故所求椭圆的标 准方程为 y2 25 + 4x 2 25 = 1. 综上,所求椭圆的标准方程为 x 2 40 + y 2 10 = 1 或 y 2 25 + 4x 2 25 = 1. 课堂达标·固基础 1. D　 由椭圆 x 2 4 + y 2 3 = 1 可知,a = 2,b = 3,c = 1,∴ 离心率 e = c a = 1 2 ,故选 D. 2. D　 3. C 4. (0, ± 7)　 ( ± 3,0),(0, ± 4) 5. (1)椭圆的长轴长为 2a = 6,短轴长为 2b = 4. (2)c = a2 - b2 = 5, 所以椭圆的离心率 e = c a = 5 3 . (3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点,则 b′ = 3,可设椭圆方 程为 x2 a′2 + y 2 9 = 1,又椭圆过点 P( - 4,1), 将点 P( - 4,1)代入得16 a′2 + 1 9 = 1, 解得 a′2 = 18. 故所求椭圆方程为 x2 18 + y 2 9 = 1. 第 2 课时　 直线与椭圆的位置关系 新知导学 　 　 1. x20 a2 + y20 b2 = 1　 x20 a2 + y20 b2 < 1　 x20 a2 + y20 b2 > 1 2. > 　 = 　 < 　 3. | x1 - x2 | 　 | y1 - y2 | 预习自测 1. C　 2. C　 由椭圆过点(2,2),且焦点在 x 轴上,排除 A、B、D,选 C. 3. D　 令 x = 0,得 y = 1,令 y = 0,得 x = - 2,由题意知椭圆的半 焦距 c = 2,短半轴长 b = 1,∴ a = 5,∴ 离心率 e = c a = 2 5 5 . 4. x2 + 3 2 y2 = 1 如图,由题意,A 点横坐标为 c, ∴ c2 + y 2 b2 = 1, 又 b2 + c2 = 1,∴ y2 = b4 , ∴ | AF2 | = b 2 , 又∵ | AF1 | = 3 | BF1 | , ∴ B 点坐标为 - 53 c, - 1 3 b2( ), 代入椭圆方程,得 - 5 3 c( ) 2 + - 1 3 b2( ) 2 b2 = 1 b2 = 1 - c2 ì î í ïï ïï , ∴ c2 = 1 3 b2 = 2 3 ì î í ïï ïï . 方程为 x2 + 3 2 y2 = 1. 5. 5 3 　 ∵ PF1 →·PF2 → = 0,∴ PF1 ⊥PF2 , 在 Rt△PF1 F2 中,tan∠PF1 F2 = | PF2 | | PF1 | = 1 2 , 设 | PF2 | = x,则 | PF1 | = 2x, 由椭圆的定义 | PF1 | + | PF2 | = 2a,∴ x = 2a 3 , ∵ | PF1 | 2 + | PF2 | 2 = | F1 F2 | 2 ,∴ x2 + 4x2 = 4c2 , ∴ 20 9 a2 = 4c2 ,∴ e = c a = 5 3 . 互动探究·攻重难 　 　 典例 1:(1)由 4x2 + y2 = 1 y = x + m{ ,消去 y 得, 5x2 + 2mx + m2 - 1 = 0, ∵ 直线与椭圆有公共点, ∴ Δ = 4m2 - 20(m2 - 1)≥0, 解得 - 5 2 ≤m≤ 5 2 . (2)设直线与椭圆交于 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ). 由(1)知 5x2 + 2mx + m2 - 1 = 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = - 2 5 m,x1 x2 = m2 - 1 5 . ∴ | AB | = (x1 - x2 ) 2 + (y1 - y2 ) 2 = (x1 - x2 ) 2 + (x1 + m - x2 - m) 2 = 2(x1 - x2 ) 2 = 2[(x1 + x2 ) 2 - 4x1 x2 ] = 2[4m 2 25 - 4 5 (m2 - 1)] = 2 5 10 - 8m2 . ∵ Δ = 4m2 - 20(m2 - 1) > 0, ∴ - 5 2 < m < 5 2 . ∴ 当 m = 0 时,| AB | 最大,此时直线方程为 y = x. 　 　 跟踪练习 1:由 y = x + m