2.3.1 双曲线及其标准方程（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 当 k≠0 时,| AB | = 1 + k2 | x2 - x1 | = 32(4k 4 + 5k2 + 1) 3(4k4 + 4k2 + 1) = 32 3 1 + 1 4k2 + 1 k2 + 4( ) ∈ 43 6,2 3( ],当 k = 0 时,| AB | = 4 63 , 即 | AB | ∈ 43 6,2 3[ ] . 　 　 跟踪练习 4:(1)由题知 e = c a = 1 2 ,即a 2 - b2 a2 = 1 4 ,得 b2 = 3 4 a2 . ∵ 点( 3, - 3 2 )在椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 上, ∴ 3 a2 + 3 4b2 = 1. 解得 a2 = 4,b2 = 3. 椭圆 C 的方程为 x 2 4 + y 2 3 = 1. (2 ) 设 直 线 lMN: x = ty + 1 ( t ≠ 0 ), 联 立 方 程 得 x = ty + 1 3x2 + 4y2 = 12{ ⇒(3t 2 + 4)y2 + 6ty - 9 = 0, ∴ y1 + y2 = - 6t 3t2 + 4 ①　 y1 y2 = - 9 3t2 + 4 ② 且 Δ = 144t2 + 144 > 0. ∵ N(x2 ,y2 ), ∴ 点 N 关于 x 轴的对称点 P(x2 , - y2 ), ∴ kPM = y1 + y2 x1 - x2 , 故直线 PM 的方程为 y -y1 = y1 +y2 x1 -x2 (x -x1), 由对称性可观察若直线 PM 恒过定点,则定点应在 x 轴上, 故令 y = 0 得 x = x1 y2 + x2 y1 y1 + y2 = (ty1 + 1)y2 + (ty2 + 1)y1 y1 + y2 = 2ty1 y2 + y1 + y2 y1 + y2 将①②式代入上式得 x = 4,故直线 PM 恒过定点(4,0). 　 　 典例 5:由已知,设椭圆方程为 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0), 则 a︰b = 2︰1,即 a = 2b. 椭圆方程化为 x 2 4b2 + y 2 b2 = 1,其中 | y | ≤b,| x | ≤2b. 已知圆的标准方程为 x2 + (y - 2)2 = 1,圆心 A(0,2),半径 R = 1. 设 Q(x,y),则 x2 = 4b2 - 4y2 . | QA | 2 = x2 + (y - 2)2 = 4b2 - 4y2 + (y - 2)2 = - 3 y + 23( ) 2 + 4b2 + 16 3 . 当 b≥ 2 3 时,∵ | y | ≤b,∴ | AQ | max = 4b 2 + 16 3 . | PQ | max = R + | AQ | max = 1 + 16 3 + 4b2 = 1 + 2 21 3 . 解得 b = 1≥ 2 3 ,符合条件. 当 b < 2 3 时,∵ | y | ≤b, ∴ | AQ | max = | b + 2 | , | PQ | max = R + | AQ | max = 1 + | b + 2 | = 1 + 2 21 3 . 解得 b = 2 21 3 - 2 > 2 3 (舍去). ∴ 所求椭圆方程为 x 2 4 + y2 = 1. 课堂达标·固基础 1. D　 2. C　 因为 | AB | = 3,所以 | AF2 | = 3 2 , 又 | F1 F2 | = 2, 所以在直角三角形 AF1 F2 中, | AF1 | = | F1 F2 | 2 + | AB | 2 = 22 + ( 3 2 )2 = 5 2 ,因为|AF1 | + | AF2 | = 5 2 + 3 2 = 4 = 2a,所以 a = 2,c = 1,b = 3,所以椭圆的 方程为: x 2 4 + y 2 3 = 1. 3. C　 设 P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )在椭圆上,PQ 的中点 H 为(2,1), 所以 x1 + x2 = 4, y1 + y2 = 2, 又 因 为 x21 8 + y21 4 = 1, x22 8 + y22 4 = 1 ì î í ï ï ïï , 两 式 相 减 得 y1 - y2 x1 - x2 = - 4(x1 + x2 ) 8(y1 + y2 ) = - 1, 即 kAB = - 1,又因为 kAB = kMH = 1 - 0 2 - m = - 1,故 m = 3. 4. D　 设椭圆方程为 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0)如图, ∵ F1 ( - c,0),∴ P( - c,yP)代入椭圆方程得 c2 a2 + y2P b2 = 1,∴