2.4.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 因此所求水池的直径为 2(1 + 2)m,约为 5 m, 即水池的直径至少应设计为 5 m. 　 　 跟踪练习 4:思路分析:建立平面直角坐标系得出抛物线方 程,借助抛物线方程分析求解. 解析:如图所示,以拱桥的拱顶为原点, 以过拱顶且平行于水面的直 线 为 x 轴,建 立 平 面 直 角 坐 标系. 设抛物线方程为 x2 = - 2py(p > 0),由题意可知点 B(4, - 5)在抛物线上,故 p = 8 5 ,得 x2 = - 16 5 y. 当船面两侧和抛物线接触时,船不能 通航, 设此时船面宽为 AA′,则 A(2,yA), 由 22 = - 16 5 yA,得 yA = - 5 4 . 又知船面露出水面上的部分高为 0. 75 m, 所以 h = | yA | + 0. 75 = 2(m). 所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时,小船开始 不能通航. 　 　 典 例 5: 当 m > 0 时, 准 线 方 程 为 x = - m 4 , 由 条 件 知 1 - - m4( ) = 3,所以 m = 8. 此时抛物线方程为 y2 = 8x; 当 m < 0 时,准线方程为 x = - m 4 ,由条件知 - m 4 - 1 = 3, 所以 m = - 16,此时抛物线方程为 y2 = - 16x. 所以所求抛物线方程为 y2 = 8x 或 y2 = - 16x. 课堂达标·固基础 1. D　 抛物线的方程为 x = 4y2 ,化为标准方程为 y2 = 1 4 x, 所以焦点在 x 轴上,且 p = 1 8 , 故其焦点坐标为( 1 16 ,0). 故选 D. 2. D　 根据焦点到准线的距离为 2,可得 p = 2,2p = 4,结合抛物 线焦点所在轴以及开口方向,即可求得抛物线的方程为 y2 = ± 4x,选 D. 3. C　 由 a2 = 6,b2 = 2,可得 c2 = a2 - b2 = 4, 所以椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线 y2 = 2px 的焦点(2, 0),所以 p = 4. 故选 C. 4. 9　 5. (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 由 y2 =4x 可得点 F 的坐标为(1,0),准线 l 的方程为 x = - 1. 由 圆心 C 在 l 上,且圆 C 与 y 轴正半轴相切(如图),可得点 C 的横 坐标为 -1,圆的半径为 1,∠CAO = 90°. 又因为∠FAC = 120°,所 以∠OAF =30°,所以| OA | = 3,所以点 C 的纵坐标为 3. 所以圆 的方程为(x +1)2 + (y - 3)2 =1. 2. 4. 2　 抛物线的简单几何性质 第 1 课时　 抛物线的简单几何性质 新知导学 　 　 1. x≥0,y∈R　 x≤0,y∈R　 x∈R,y≥0　 x∈R,y≤0　 x　 y　 (0,0)　 (0,0)　 (0,0)　 (0,0)　 F( p 2 ,0)　 F( - p 2 ,0)　 F(0, p 2 )　 F(0, - p 2 )　 x = - p 2 　 x = p 2 　 y = - p 2 　 y = p 2 　 1 2. 2p　 3. x0 + p 2 　 p 2 - x0 　 y0 + p 2 　 p 2 - y0 4. 相切　 p　 p 2 4 　 - p2 　 预习自测 1. C　 由抛物线 y = - 3x2 得 x2 = - 1 3 y,∴ p 2 = 1 12 . 可得准线方 程为 y = 1 12 . 故选 C. 2. D　 因为抛物线的方程为 x2 = 1 2 y,即 2p = 1 2 ,所以 p = 1 4 , 因此焦点到准线的距离是 1 4 . 故选 D. 3. C　 设 A( x1 ,y1 ),B( x2 ,y2 ),则由抛物线的定义得 | AF | + | BF | = x1 + 1 4 + x2 + 1 4 , 因为 | AF | + | BF | = 3,所以 x1 + 1 4 + x2 + 1 4 = 3,所以 x1 + x2 = 5 2 ,即线段 AB 的中点的横坐标为 5 4 ,从而线段 AB 的中点 到 y 轴的距离为 5 4 ,故选 C. 4. B　 由抛物线 y2 = 8x 的焦点为(2,0),得直线的方程为 y = x - 2. 代入 y2 = 8x,得(x - 2)2 = 8x,即 x2 - 12x + 4 = 0. ∴ x1 + x2 = 12,弦长 = x1 + x2 + p = 12 + 4 = 16. 5. y2 = 24x 或 y2 = - 24x　 ∵ 顶点与焦点距离为 6, 即 p 2 = 6,∴ 2p = 24, 又∵ 对称轴为 x