2.4.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

数学 (选修 2 - 1·人教 A 版） - 1,∵ 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1 ,y1 ), B(x2 ,y2 )两点, ∴ | AB | = x1 + x2 + 2,又 x1 + x2 = 6,∴ | AB | = x1 + x2 + 2 = 8. 故选 B. 　 　 典例 2:如图,设正三角形 OAB 的 顶点 A、B 在抛物线上,且它们坐标分 别为(x1 ,y1 ) 和(x2 ,y2 ) 则:y 2 1 = 2px1 , y22 = 2px2 . 又 | OA | = | OB | ,∴ x21 + y 2 1 = x 2 2 + y22 , 即 x21 - x 2 2 + 2px1 - 2px2 = 0, ∴ (x1 - x2 )(x1 + x2 + 2p) = 0. ∵ x1 > 0,x2 > 0,2p > 0,∴ x1 = x2 , 由此可得 | y1 | = | y2 | , 即线段 AB 关于 x 轴对称. 由于 AB 垂直于 x 轴,且∠AOx = 30°. ∴ y1 x1 = tan30° = 3 3 ,而 y21 = 2px1 ,∴ y1 = 2 3p. 于是 | AB | = 2y1 = 4 3p. 　 　 跟踪练习 2:B　 由抛物线的对称性质及 OA⊥OB 知,直线 OA 的方程为 y = x, 由 y = x y2 = 2px{ ,解得 A(2p,2p),则 B(2p, - 2p), ∴ | AB | = 4p,∴ S△ABO = 1 2 ·4p·2p = 4p2 . 　 　 典例 3:(1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程 是 x = - 1,由抛物线的定义知:点 P 到直线 x = - 1 的距离等于 点 P 到焦点 F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使 点 P 到点 A( - 1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小. 显然,连 AF 交抛物线于 P 点,故最小值为 22 + 12 ,即 5. (2)如图把点 B 的横坐标代入 y2 = 4x 中,得 y = ± 12,因 为 12 > 2,所以 B 在抛物线内部,自 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交 抛物线于 P1 . 此时,由抛物线定义知:| P1 Q | = | P1 F | . 那么 | PB | + | PF | ≥ | P1 B | + | P1 Q | = | BQ | = 3 + 1 = 4. 即最小值为 4. 　 　 跟踪练习 3:C　 如下图. 连接 PF,则 d1 + d2 = | PM | + | PF | ≥| MF | ,知 d1 + d2 最小值 是 | MF | ,当且仅当点 P 在线段 MF 上时,等号成立,而直线 MF 的 方程为 y = 4 3 x - 1 2( ),与 y 2 = 2x,联立求得 x = 2,y = 2 或 x = 1 8 ,y = - 1 2 (舍去),所以,P 点坐标为(2,2). 　 　 典例 4:y2 = ± 6x　 由题意,抛物线的焦点在 x 轴上, 故设方程为 y2 = 2px(p≠0), ∵ 通径长为 6, ∴ |2p | = 6,∴ p = ± 3. ∴ 抛物线方程 y2 = ± 6x. 课堂达标·固基础 1. C 　 抛 物 线 y = 4x2 , 即 x2 = 1 4 y 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为:p = 1 8 . 2. D　 依题意可知 M 点到点 F 的距离等于 M 点到直线 x = - 4 的距离,因此其轨迹是抛物线,且 p = 8,顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上, ∴ 其方程为 y2 = 16x,故答案是 D. 3. A　 由题意可得:F( p 2 ,0),xA + p 2 = 4,解得 xA = 4 - p 2 ,取 yA = 2p(4 - p 2 ) = 8p - p2 . ∴ A(4 - p 2 , 8p - p2 ). ∵ BA→·BF→ = 0,∴ p 2 (4 - p 2 ) - 2( 8p - p2 - 2) = 0, ∴ ( 8p - p2 - 4)2 = 0,解得 p = 4. 经过检验满足条件. ∴ 该抛物线的方程为 y2 = 8x. 故选 A. 4. 0. 5　 抛物线 y2 = x 中 2p = 1,∴ p = 0. 5,∴ 抛物线 y2 = x 的焦 点和准线的距离等于 0. 5. 5. 10　 由抛物线 y2 = 8x 知,p = 4. 设 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ),根据抛物线定义知: | AF | = x1 + p 2 ,| BF | = x2 + p 2 , ∴ | AB | = | AF | + | BF