1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 逆否命题:若一个四边形的四条边不相等, 则它不是正 方形. 　 　 跟踪练习 1:(1)逆命题:若 x、y 全为 0,则 x2 + y2 = 0; 否命题:若 x2 + y2 ≠0,则 x、y 不全为 0; 逆否命题:若 x、y 不全为 0,则 x2 + y2 ≠0. (2)逆命题:若 a、b 都是偶数,则 a + b 是偶数; 否命题:若 a + b 不是偶数,则 a、b 不都是偶数; 逆否命题:若 a、b 不都是偶数,则 a + b 不是偶数. 　 　 典例试做 2:(1)逆命题:若 A⊆B,则 A∩B = A. 真命题; 否命题:若 A∩B≠A,则 A⊈B. 真命题; 逆否命题:若 A⊈B,则 A∩B≠A. 真命题. (2)逆命题:若两条直线平行,则它们垂直于同一条直线. 真命题; 否命题:若两条直线不垂直于同一条直线,则它们不平行. 真命题; 逆否命题:若两条直线互相不平行,则它们不垂直于同一 条直线. 假命题. (3)逆命题:若 a = 0 或 b = 0,则 ab = 0. 真命题; 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0. 真命题; 逆否命题:若 a≠0,且 b≠0,则 ab≠0. 真命题. 　 　 跟踪练习 2:A　 因为原命题“若 a + b≥2,则 a、b 中至少有 一个不小于 1”的逆否命题为“若 a、b 都小于 1,则 a + b < 2”,显 然为真,所以原命题为真;原命题“若 a + b≥2,则 a、b 中至少有 一个不小于 1”的逆命题为“若 a、b 中至少有一个不小于 1,则 a + b≥2”,是假命题,反例为 a =1. 2,b =0. 3,故选 A. 　 　 典例试做 3:原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是( - ∞ , + ∞ )上的增函数,a、b∈R,若 a + b < 0,则 f(a) + f(b) < f( - a) + f( - b). ” 证明如下: 若 a + b < 0,则 a < - b,b < - a, 又∵ f(x)在( - ∞ , + ∞ )上是增函数, ∴ f(a) < f( - b),f(b) < f( - a). ∴ f(a) + f(b) < f( - a) + f( - b), 即逆否命题为真命题. ∴ 原命题为真命题. 　 　 跟踪练习 3:先判断原命题的真假如下: ∵ a、x 为实数,关于 x 的不等式 x2 + (2a + 1) x + a2 + 2 > 0 的解集为 R,且抛物线 y = x2 + (2a + 1) x + a2 + 2 的开口向上, 所以 Δ = (2a + 1)2 - 4(a2 + 2) = 4a - 7 < 0, ∴ a < 7 4 . 所以原命题是真命题. 又∵ 互为逆否命题的两个命题同真同假,∴ 原命题的逆否 命题为真命题. 　 　 典例试做 4:D　 原命题“若抛物线 y = ax2 + bx + c 的开口向 下,则{x | ax2 + bx + c < 0} ≠⌀” 为真命题;逆命题“ 若{x | ax2 + bx + c < 0}≠⌀,则抛物线 y = ax2 + bx + c 的开口向下” 为假命 题,因为抛物线的开口也可能向上(a > 0);根据命题间的等价 关系可知其否命题为假,逆否命题为真. 故选 D. 　 　 跟踪练习 4:证明:构造命题 p:若 a2 + b2 = c2 ,则 a,b,c 不可 能都是奇数. 该命题的逆否命题是:若 a,b,c 都是奇数,则 a2 + b2 ≠c2 . 下面证明逆否命题是真命题. 由于 a,b,c 都是奇数,则 a2 ,b2 ,c2 都是奇数,于是 a2 + b2 必 为偶数,而 c2 为奇数,所以有 a2 + b2 ≠c2 ,故逆否命题为真命题, 从而原命题也是真命题. 　 　 典例试做 5:逆命题:已知 a、b、c、d 是实数,如果 a + c = b + d,则 a = b,c = d. 假命题. 否命题:已知 a、b、c、d 是实数,如果 a≠b,或 c≠d,则 a + c ≠b + d. 假命题. 课堂达标·固基础 1. A　 命题可改写为:若四边形是梯形,则它的对角线互相平 分,所以该命题的条件是四边形是梯形,故选 A. 2. B　 3. A　 命题的逆命题与否命题同真同假. 4. A　 由集合的包含关系知,如果 M⊆N,那么 M∩N = M,M∪N = N,故选 A. 5. 逆命题:已知 a,b∈R,若 a > b,则 a2 > b2 ; 否命题:已知 a,b∈R,若 a2 ≤b2 ,则 a≤b; 逆否命题:已知 a,b∈R,若 a≤b,则 a2 ≤b2 . 因为原命题是假命题,所以逆否命题也是假命题. 因为逆命