2.1.1 椭圆及其标准方程（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 综上所述,m 的取值范围是(1,2]∪[3, + ∞ ). 　 　 典例试做 4:若命题 p 为真,因为函数的对称轴为 x = m,则 m≤2. 若命题 q 为真,当 m = 0 时原不等式为 - 8x + 4 > 0,显然不 恒成立. 当 m≠0 时,则有 m > 0 Δ = 16(m - 2)2 - 16m < 0{ ⇒1 < m < 4. 因为 p∨q 为真,p∧q 为假,所以命题 p,q 一真一假. ①当 p 真 q 假时,则: m≤2 m≤1 或 m≥4{ ,解得:m≤1 ②当 p 假 q 真时,则: m > 2 1 < m < 4{ ,解得:2 < m < 4 所以,实数 m 的取值范围是( - ∞ ,1]∪(2,4). 　 　 典例试做 5:由 x2 - 4ax + 3a2 < 0 且 a < 0,得 3a < x < a, ∴ p:3a < x < a. 由 x2 - x - 6≤0 得, - 2≤x≤3,∴ q: - 2≤x≤3. ∵ 􀱑 q⇒􀱑 p,∴ p⇒q. ∴ 3a≥ - 2 a≤3 a < 0 { ,解得 - 23 ≤a < 0, ∴ a 的取值范围是[ - 2 3 ,0). 　 　 典例试做 6:∵ | x - m | < 1,∴ m - 1 < x < m + 1, 由题意 1 3 , 1 2( )⫋(m - 1,m + 1), ∴ m - 1≤ 1 3 m + 1≥ 1 2 ì î í ïï ïï 且等号不同时取得, ∴ - 1 2 ≤m≤ 4 3 , ∴ 实数 m 的取值范围是 - 12 , 4 3[ ]. 　 　 典例试做 7:∵ sin x + cos x = 2sin (x + π 4 )≥ - 2, ∴ 当 r(x)是真命题时,m < - 2. 又∵ 对∀x∈R,s(x)是真命题时, 即 x2 + mx + 1 > 0 恒成立, 有 Δ = m2 - 4 < 0,∴ - 2 < m < 2. ∴ 当 r ( x) 为真命题,s ( x) 为假命题时,m < - 2, 同 时 m≤ - 2或 m≥2,即 m≤ - 2; 当 r(x) 为假命题,s(x) 为真命题时,m≥ - 2且 - 2 < m < 2,即 - 2≤m < 2. 综上,m 的取值范围是{m | m≤ - 2 或 - 2≤m < 2}. 　 　 典例试做 8:A　 若命题 p 为真命题,则∀x∈[0,1],a≥ex 的最大值. 又∵ ex 在 x∈[0,1]上的最大值为 e,∴ a≥e. 若命题 q 为真命题,则 Δ = 16 - 4a≥0,∴ a≤4. ∵ “p∧q”是真命题, ∴ p、q 均为真命题,则有 a≥e a≤4{ , ∴ e≤a≤4. 即时巩固 1. A　 因为 x = 0 时,20 + 02 = 1≤1,故原命题为真命题,所以该 命题的否定“∀x∈R,2x + x2 > 1”是假命题. 2. A　 a + b + c = 3 的否定是 a + b + c≠3,a2 + b2 + c2 ≥3 的否定 是 a2 + b2 + c2 < 3. 3. A　 当 x = 2,y = - 1 时,有 2 - 1 - 1 = 0 成立,此时 P(2, - 1) 在直线上,而点 P(x,y)在直线 l 上,并不确定有“x = 2 且 y = - 1”. 4. B　 A,C 为全称命题;对于 B,当 x = 0 时,x2 = 0≤0,正确;对 于 D,显然错误. 5. B　 由 20 = 30 知 p 为假命题;令 h(x) = x3 + x2 - 1,则 h(0) = - 1 < 0,h(1) = 1 > 0,∴ 方程 x3 + x2 - 1 = 0 在( - 1,1) 内有 解,∴ q 为真命题,∴ (􀱑 p)∧q 为真命题,故选 B. 6. ①③　 命题 p1 是假命题,命题 p2 是真命题, ∴ 􀱑 p1 是真命题,􀱑 p2 是假命题,∴ ①③是真命题. 7. 1　 ∵ ∀x∈[0, π 4 ],tan x≤m 恒成立, ∴ m≥(tan x) max即可. 又∵ y = tan x 在[0, π 4 ]上单调递增, ∴ (tan x) max = tan π 4 = 1,∴ m≥1. 8. 由题意,A = {x | x2 - x - 2≥0} = {x | x≤ - 1 或 x≥2} B = {x | 3 x - 1 > 0} = {x |0 < x < 3} ∴ A∩B = {x |2≤x < 3} 记 C = {x |2x + m < 0} = {x | x < - m 2 },又若 p 则 q 为真命题, 即 p⇒q ∴ A∩B⊆C ∴ 3≤ - m 2 ,∴