2.2.2 双曲线的简单几何性质（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

数学 (选修 1 - 1·人教 A 版） 解法二:设双曲线方程为 x 2 16 - k - y 2 4 + k = 1, 将点(3 2,2)代入得 k = 4, ∴ 所求双曲线方程为 x 2 12 - y 2 8 = 1. 　 　 跟踪练习 2:(1)解法一:由已知得,c = 6,且焦点在 y 轴上, 则另一焦点坐标是(0,6). 因为点 A( - 5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a,即 2a = | ( - 5)2 + (6 + 6)2 - ( - 5)2 + (6 - 6)2 | = |13 - 5 | = 8, 得 a = 4,b2 = c2 - a2 = 62 - 42 = 20. 因此,所求的双曲线标准方程是 y 2 16 - x 2 20 = 1. 解法二:由焦点坐标知 c = 6,∴ a2 + b2 = 36, ∴ 双曲线方程为 y 2 a2 - x 2 36 - a2 = 1. ∵ 双曲线过点 A( - 5,6), ∴ 36 a2 - 25 36 - a2 = 1,∴ a2 = 16,b2 = 20. 双曲线方程为 y2 16 - x 2 20 = 1. (2)由 x 2 16 + y 2 25 = 1 知焦点为 F1 (0, - 3),F2 (0,3). 设双曲线的方程为 y2 a2 - x 2 b2 = 1(a > 0,b > 0),则有 10 a2 - 4 b2 = 1 a2 + b2 = 9 { ,∴ a2 = 5,b2 = 4. ∴ 所求的双曲线的方程为 y 2 5 - x 2 4 = 1. 　 　 典例试做 3:(1)由双曲线方程知 a = 2,b = 3,c = 13, 设 | PF1 | = r1 ,| PF2 | = r2 (r1 > r2 ), 如图所示. 由双曲线定义,有 r1 - r2 = 2a = 4, 两边平方得 r21 + r 2 2 - 2r1 r2 = 16. ∵ ∠F1 PF2 = 90°, ∴ r21 + r 2 2 = 4c 2 = 4 × ( 13)2 = 52. ∴ 2r1 r2 = 52 - 16 = 36, ∴ S△F1PF2 = 1 2 r1 r2 = 9. (2)若∠F1 PF2 = 60°, 在△F1 PF2 中,由余弦定理得 | F1 F2 | 2 = r21 + r 2 2 - 2r1 r2 cos 60° = (r1 - r2 ) 2 + r1 r2 , 而 r1 - r2 = 4,| F1 F2 | = 2 13,∴ r1 r2 = 36. 于是 S△F1PF2 = 1 2 r1 r2 sin 60° = 1 2 × 36 × 3 2 = 9 3. 同理可求得若∠F1 PF2 = 120°时,S△F1PF2 = 3 3. 　 　 跟踪练习 3:由双曲线的对称性,可设点 P 在第一象限, 由双曲线的方程,知 a = 3,b = 4,∴ c = 5. 由双曲线的定义,得 | PF1 | - | PF2 | = 2a = 6. 上式两边平方,得 | PF1 | 2 + | PF2 | 2 = 36 + 2 | PF1 | · | PF2 | = 36 + 64 = 100, 由余弦定理,得 cos ∠F1 PF2 = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 - | F1 F2 | 2 2 | PF1 | · | PF2 | = 100 - 100 2 | PF1 | · | PF2 | = 0. ∴ ∠F1 PF2 = 90°. 　 　 典例试做 4:(1)当 k = 0 时,y = ± 2,表示两条与 x 轴平行 的直线; (2)当 k = 1 时,方程为 x2 + y2 = 4,表示圆心在原点,半径为 2 的圆; (3)当 k < 0 时,方程为 y 2 4 - x 2 - 4 k = 1,表示焦点在 y 轴上的 双曲线; (4)当 0 < k < 1 时,方程为 x 2 4 k + y 2 4 = 1,表示焦点在 x 轴上 的椭圆; (5)当 k >1 时,方程为 x 2 4 k + y 2 4 =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆. 　 　 跟踪练习 4:当 2 < m < 3 时,5 - m > 0,2 - m < 0,此时方程 x2 5 - m + y 2 2 - m = 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线; 当 m < 2 时,5 - m > 2 - m > 0,此时方程 x 2 5 - m + y 2 2 - m = 1 表 示焦点在 x 轴上的椭圆. 　 　 典例试做 5:将双曲线方程化为 kx2 - k 8 y2 = 1,即 x 2 1 k - y 2 8 k = 1. 因为一个焦点是(0,3),