2.2.2双曲线的简单几何性质（第二课时） 导学案-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修1-1

( 导学提纲 ) ( 高二数学 ) ( 编撰人： 核对人： 审核人： ) 班级: 姓名: 学号: 2.2.2　双曲线的简单几何性质(二) 一、学习目标、细解考纲 学 习 目 标 核 心 素 养 能用双曲线的简单几何性质的正向逆向运用，涉及双曲线标准方程、离心率等(难点) 通过双曲线的简单几何性质的灵活运用，培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养． 二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂) 例1. 已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞2)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为________． 解析　不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝. 变式1.已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为________. 答案　 解析　设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，)，F2(0，－)，所以|F1F2|＝2，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以x＋y＝2.得|x0|＝1，于是S△PF1F2＝|F1F2|·|x0|＝×2×1＝. 例2. 已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________． 解析　由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2. 变式2. 如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A