3.1.3 导数的几何意义（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 ∴ 物体的初速度是 2. 5. 设这辆汽车在 3s 到(3 + Δt) s 这段时间内的位移的增量为 Δs,则 Δs = 3·(3 + Δt)2 + 1 - 28 = 3(Δt)2 + 18Δt, 所以 Δs Δt = 3Δt + 18,所以lim Δt→0 (3Δt + 18) = 18. 故这辆汽车在 t = 3s 时的瞬时速度为 18 m / s. 3. 1. 3　 导数的几何意义 新知导学 　 　 1. (1)直线 PT 2. (1)f′(x)　 (2)f(x + Δx) - f(x) Δx 预习自测 1. B　 曲线在点(x0 ,f(x0 ))的切线斜率为 0,切线平行或重合于 x 轴. 2. A　 ∵ 曲线 y = f(x)在点(x0 ,f(x0 ))处的切线的斜率 k = 2, ∴ f′(x0 ) = 2,故选 A. 3. x + y - 2 = 0　 y′ | x = 1 = f ′(1) = lim Δx→0 f(1 + Δx) - f(1) Δx = lim Δx→0 1 1 + Δx - 1 Δx = lim Δx→0 - 1 1 + Δx = - 1, 则切线方程为 y - 1 = - (x - 1),即 x + y - 2 = 0. 4. ∵ Δy = f(x0 + Δx) - f(x0 ) = f(1 + Δx) - f(1) = (1 + Δx)2 + 1 - (1 + 1) = (Δx)2 + 2Δx, ∴ Δy Δx = (Δx) 2 + 2Δx Δx = Δx + 2. ∴ k = lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 (Δx + 2) = 2. 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:A　 因为函数 y = f(x) 的导函数 y = f ′(x) 在 [a,b]上是增函数,由导数的几何意义可知,在区间[a,b] 上各 点处的切线斜率是逐渐增大的,只有 A 选项符合. 　 　 跟踪练习 1:A　 由 y = f(x) 的图象可知,在 A,B 点处的切 线斜率 kA > kB,根据导数的几何意义有:f ′(xA) > f ′(xB). 　 　 典例试做 2:(1)∵ f ′(x) = lim Δx→0 (x + Δx)3 - x3 Δx = lim Δx→0 (Δx)3 + 3x2 ·Δx + 3x·(Δx)2 Δx = lim Δx→0 [(Δx)2 + 3x2 + 3x·Δx] = 3x2 , ∴ f ′(1) = 3 × 12 = 3,又 f(1) = 13 = 1, ∴ 切线方程为 y - 1 = 3(x - 1), 即 3x - y - 2 = 0. (2)设切点为 P(x0 ,x 3 0 ), 由(1)知切线斜率为 k = f ′(x0 ) = 3x 2 0 , 故切线方程为 y - x30 = 3x 2 0 (x - x0 ). 又点(1,1)在切线上,将其代入切线方程得 1 - x30 = 3x 2 0 (1 - x0 ), 即 2x30 - 3x 2 0 + 1 = 0,∴ (x0 - 1) 2 (2x0 + 1) = 0, 解得 x0 = 1 或 x0 = - 1 2 . 故所求的切线方程为 y - 1 = 3(x - 1)或 y + 1 8 = 3 4 (x + 1 2 ), 即 3x - y - 2 = 0 或 3x - 4y + 1 = 0. 　 　 跟踪练习 2:(1)∵ f′(4) = lim Δx→0 f(4 + Δx) - f(4) Δx = lim Δx→0 1 4 + Δx - 4 + Δx - ( 1 4 - 2) Δx = lim Δx→0 ( 1 4 + Δx - 1 4 ) - ( 4 + Δx - 2) Δx = lim Δx→0 - Δx 4(4 + Δx) - Δx 4 + Δx + 2 Δx = lim Δx→0 - 1 4(4 + Δx) - 1 4 + Δx + 2[ ] = - 5 16 , ∴ 所求切线的斜率为 - 5 16 . ∴ 所求切线方程为 5x + 16y + 8 = 0. (2)f′(x) = lim Δx→0 x + Δx + 4 x + Δx - x - 4 x Δx = lim Δx→0 1 - 4 x(x + Δx)[ ] = 1 - 4 x2 . ∵ 点 A( 8 3 ,0)不在曲线上, 设切线的切点是(x0 ,y0 ), 则切线的斜率 k = f′(x) | x = x0 = 1 - 4 x20 , 又切线过点(x0 ,y0 )和( 8 3 ,0), ∴ k = y0 x0 - 8 3 = 3y0 3x0 - 8 , ∴ 1 - 4 x20 = 3y0 3x