3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念（练案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

▲ 185 ▲ ▲ 186 ▲ 所以4 a = 4,即 a = 1. 所以抛物线的焦点坐标为(1,0). 9. (1)抛物线的焦点为 F( p 2 ,0),过点 F 且倾斜角为 π 4 的直 线方程是 y = x - p 2 . 设 A( x1 ,y1 ),B( x2 ,y2 ),由 y2 = 2px y = x - p 2 { ,得 x2 - 3px + p 2 4 = 0, ∴ x1 + x2 = 3p,∴ | AB | = x1 + x2 + p = 4p. (2)由(1)知 x1 x2 = p2 4 ,x1 + x2 = 3p, ∴ y1 y2 = (x1 - p 2 ) (x2 - p 2 ) = x1 x2 - p 2 (x1 + x2 ) + p2 4 = p 2 4 - 3p 2 2 + p 2 4 = - p2 , ∴ OA → ·OB → = x1 x2 + y1 y2 = p2 4 - p2 = - 3p 2 4 = - 3,解得 p2 = 4,∴ p = 2. ∴ 这个抛物线的方程为 y2 = 4x. B 级　 素养提升 1. C　 由 y 2 = 8x y = kx - 2{ ,得 k 2 x2 - 4(k + 2)x + 4 = 0, 则 4(k + 2) k2 = 4,即 k = 2. 2. B　 F 是抛物线 y2 = 4x 的焦点,F(1,0),准线方程 x = - 1, 设 M(xM ,yM )、N(xN ,yN ),∴ | MF | + | NF | = xM + 1 + xN + 1 = 6,解得 xM + xN = 4,∴ MN 中点的横坐标为 xM + xN 2 = 2. 3. BD　 解法一:∵ 抛物线 y2 = 6x,∴ 2p = 6,∴ p 2 = 3 2 , 即焦点坐标 F 32 ,0( ). 当直线倾斜角为 π 2 时,即直线为 x = 3 2 ,此时弦长为 2 × 6 × 3 2 = 9≠12,故直线斜率存在. 设所求直线方程为 y = k x - 32( ), 与抛物线 y2 = 6x 消去 y,得 k2 x2 - (3k2 + 6)x + 9 4 k2 = 0. 设直线交抛物线于 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ), ∴ x1 + x2 = 3k2 + 6 k2 . ∵ 直线过抛物线 y2 = 6x 焦点,弦长为 12, ∴ x1 + x2 + 3 = 12,∴ x1 + x2 = 9, 即 3k2 + 6 k2 = 9,解得 k2 = 1, k = tanα = ± 1,∵ α∈[0,π),∴ α = π 4 或 3π 4 . 解法二:弦长 | AB | = 2p sin2 α (α 为直线 AB 的倾斜角), ∴ 12 = 6 sin2 α ,∴ sin2 α = 1 2 ,sinα = ± 2 2 , ∵ α∈[0,π),∴ α = π 4 或 α = 3π 4 . 4. BCD　 设 AB 倾斜角为 α,则 | AB | = 2 sin2 α ,因为 AB,CD 垂 直,所以 | CD | = 2 cos2 α ,因此 | AB | · | CD | = 4 sin2 αcos2 α = 16 sin22α ≥16,选 BCD. 5. (x - 1)2 + y2 = 4 　 ∵ 抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0),准线 l 为直线 x = - 1,∴ 圆的圆心坐标为(1,0). 又∵ 圆与 l 相切,∴ 圆心到 l 的距离为圆的半径, ∴ r = 2. ∴ 圆的方程为(x - 1)2 + y2 = 4. 6. 3 2 8 　 设 P(x0 ,x 2 0 )为抛物线上的点,则 P 到直线 y = x - 1 的 距 离 d = | x0 - x 2 0 - 1 | 2 = | x20 - x0 + 1 | 2 = (x0 - 1 2 )2 + 3 4 2 . ∴ 当 x0 = 1 2 时,dmin = 3 2 8 . 7. (1)解:由题意得 F(1,0),l 的方程为 y = k(x - 1)(k > 0). 设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ), 由 y = k(x - 1) y2 = 4x{ ,得 k 2 x2 - (2k2 + 4)x + k2 = 0. Δ = 16k2 + 16 > 0,故 x1 + x2 = 2k2 + 4 k2 . 所以 | AB | = | AF | + | BF | = (x1 + 1) + (x2 + 1) = 4k2 + 4 k2 . 由题设知 4k2 + 4 k2 = 8,解得 k = - 1(舍去),k = 1. 因此 l 的方程为 y = x - 1. (2)解:由(1)得