1.1.1 正弦定理（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

数学 （必修 5·人教 A 版）　 学案部分　 详解答案 [学案部分] 第一章　 解三角形 1. 1　 正弦定理和余弦定理 第 1 课时　 正弦定理 新知导学 　 　 1. (1)180°　 大于　 小于　 大角　 小角　 (2)a2 + b2 = c2 2. a sinA = b sinB = c sinC 3. (1)sinA︰sinB︰sinC　 (2) a + b + c sinA + sinB + sinC 4. (1)解三角形　 (2)①已知任意两角与一边,求其他两边和一角 ②已知任意两边与其中一边的对角,求另一边的对角　 (4) 一解　 一解 　 一解　 无解　 无解　 一解　 无解　 无解　 两解　 一解　 无解　 预习自测 1. (1)√　 由正弦定理可知,sinB = cosB,sinC = cosC,所以 B = C = 45°, 故 A = 90°. (2) × 　 由 sin2A = sin2B 可得 A = B 或 2A + 2B = π,所以 a = b 或 a2 + b2 = c2 . (3)√　 在△ABC 中,sinA > sinB⇔a > b⇔A > B. (4)√　 因为 a sinA = b sinB = c sinC ,所以 a sinA = b + c sinB + sinC . 2. 2　 在△ABC 中,∠A = 75°,∠B = 45°, 所以∠C = 60°, 由正弦定理知 AC sinB = AB sinC , 所以 AC = ABsinB sinC = 6 × sin45° sin60° = 2. 3. 0　 由正弦定理得 a sinA = b sinB = c sinC , 所以 2a sinA - b sinB - c sinC = 0. 4. 1 2 　 因为 A + B + C = 180°, 且 A + C = 2B,所以 B = 60°,由正弦定理得 sinA = asinB b = 1 × sin60° 3 = 1 2 . 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:在△ABC 中,C = 180° - (A + B) = 180° - (60° + 45°) = 75°. sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 = 2( 3 + 1) 4 . 根据正弦定理,得 a = csinA sinC = 2sin60° sin75° = 2 × 3 2 2( 3 + 1) 4 = 6 ( 3 - 1 ) = 3 2 - 6, b = csinB sinC = 2sin45° sin75° = 2 × 2 2 2( 3 + 1) 4 = 2( 3 - 1). 　 　 跟踪练习 1:(1)A　 A = 180° - B - C = 45°, 由正弦定理得 a sinA = b sinB , ∴ b = asinB sinA = 8 × 3 2 2 2 = 4 6. (2) 6 3 　 由题意,因为 B = 45°,C = 60°, 所以 A = 180° - B - C = 75°, 最短边为 b,由正弦定理, 得 b = csinB sinC = 1 × sin45° sin60° = 6 3 . 　 　 典例试做 2:∵ A 为锐角,bsinA = 6sin30° = 3 < a < b, ∴ 本题有两解, ∵ sinB = bsinA a = 3 2 ,∴ B = 60°或 120°, 当 B = 60°时,C = 90°,c = asinC sinA = 2 3sin90° sin30° = 4 3; 当 B = 120°时,C = 30°,c = asinC sinA = 2 3sin30° sin30° = 2 3; 综上,B = 60°,C = 90°,c = 4 3或 B = 120°,C = 30°,c = 2 3. 　 　 跟踪练习 2:(1) π 6 　 由 sinB + cosB = 2,得 sin(B + π 4 ) = 1, 由 B∈(0,π),得 B = π 4 , 由正弦定理, a sinA = b sinB ,得 sinA = asinB b = 1 2 , 又 a < b,所以 A = π 6 . (2)B　 B 中,b·sinA = 10 × 2 2 = 5 2. ∵ 5 2 < 8 < 10. ∴ 有两解. 　 　 典例试做 3:因为 C = π 4 ,所以 A + B = 3π 4 . 又因为 tanA·tanB = 6, 所以 tanA + tanB = tan(A + B)·(1 - tanA·tanB) = -