1.1.3 正、余弦定理的综合应用（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

数学 （必修 5·人教 A 版）　 ∴ b2 + c2 = a2 ,∴ △ABC 为直角三角形. 　 　 跟踪练习 3:利用边的关系判断,由正弦定理, 得 sinC sinB = c b , 由 2cosAsinB = sinC,得 cosA = sinC 2sinB = c 2b , 又 cosA = b 2 + c2 - a2 2bc ,∴ c 2b = b 2 + c2 - a2 2bc ,即 a = b. 又(a + b + c)(a + b - c) = 3ab,∴ (a + b)2 - c2 = 3ab, ∴ b = c, 综上 a = b = c,∴ △ABC 为等边三角形. 　 　 典例试做 4:∵ 2a + 1,a,2a - 1 是三角形的三边, ∴ 2a + 1 > 0, a > 0, 2a - 1 > 0, { 解得 a > 12 ,此时 2a + 1 最大. 要使 2a + 1,a,2a - 1 表示三角形的三边, 还需 a + (2a - 1) > 2a + 1,解得 a > 2. 设最长边 2a + 1 所对的角为 θ, 则 cosθ = a 2 + (2a - 1)2 - (2a + 1)2 2a(2a - 1) = a(a - 8) 2a(2a - 1) < 0, 解得 1 2 < a < 8. ∴ a 的取值范围是(2,8). 　 　 典例试做 5:(1) 由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB + sinBcosA) = sinC,2cosCsin(A + B) = sinC, 故 2sinCcosC = sinC,可得 cosC = 1 2 ,又因为 0 < C < π, 所以 C = π 3 . (2)由已知, 1 2 absinC = 3 3 2 . 又 C = π 3 ,所以 ab = 6. 由已知及余弦 定理,得 a2 + b2 - 2abcosC = 7, 故 a2 + b2 = 13,从而(a + b)2 = 25. ∴ a + b = 5,所以△ABC 的周长为 5 + 7. 课堂达标验收 1. C　 cosB = a 2 + c2 - b2 2ac = 9 + 4 - 7 12 = 1 2 , ∵ 0° < B < 180°, ∴ B = 60°. 2. C　 由题意 S△ABC = 1 2 absinC = a 2 + b2 - c2 4 ,即 sinC = a 2 + b2 - c2 2ab ,由 余弦定理可知 sinC = cosC,即 tanC = 1, 又 C∈(0,π),所以 C = π 4 . 3. 1　 因为 sin B = 1 2 且 B∈(0,π),所以 B = π 6 或 B = 5π 6 ,又 C = π 6 ,所 以 B = π 6 ,A = π - B - C = 2π 3 ,又 a = 3,由正弦定理得 a sin A = b sin B 即 3 sin 2π 3 = b sin π 6 ,解得 b = 1. 4. 因为AB→·AC→ = - 6, 所以 bccosA = - 6. 又 S△ABC = 3,所以 bcsinA = 6. 因此 tanA = - 1. 又 0 < A < π,所以 A = 3π 4 . 又 b = 3,所以 c = 2 2. 由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccosA, 得 a2 = 9 + 8 - 2 × 3 × 2 2 × ( - 2 2 ) = 29,所以 a = 29. 第 3 课时　 正、余弦定理的综合应用 新知导学 　 　 1. (1) a sinA = b sinB = c sinC 　 (2)a2 = b2 + c2 - 2bccosA　 b2 = a2 + c2 - 2accosB　 c2 = a2 + b2 - 2abcosC 2. (1)已知三角形的任意两个角与一边,解三角形　 (2) 已知三角 形的两边与其中一边的对角,解三角形 3. (1)已知三角形的两边及其夹角,解三角形　 (2) 已知三角形的 三边,解三角形 4. (2) 1 2 bcsinA　 1 2 acsinB 5. (1)π - C　 π 2 - C 2 　 (2) 大角　 (3) sinC　 - cosC　 cos C 2 　 sin C 2 预习自测 1. (1)√　 (2) × 　 (3) × 2. 3　 S△ABC = 1 2 × 2 × 2 × 3 2 = 3. 3. 3 2 　 S△ABC = 1 2 × AB × AC × sinA = 1 2 × 1 × 2 × sin60° = 3 2 . 4. 3　 S△ABC = 1 2 × AB × AC × sinA ∴ 3 2 = 1 2