1.2.1 解三角形的实际应用举例——距离问题（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

现行旧教材·高中新课程学习指导 故 cos B 2 = 2sin B 2 cos B 2 . 因为 cos B 2 ≠0,所以 sin B 2 = 1 2 ,所以 B = 60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积 S△ABC = 3 4 a. 由(1)知 A + C = 120°, 由正弦定理得 a = csinA sinC = sin(120° - C) sinC = 3 2tanC + 1 2 . 由于△ABC 为锐角三角形,故 0° < A < 90°,0° < C < 90°. 结合 A + C = 120°,得 30° < C < 90°, 所以 1 2 < a < 2,从而 3 8 < S△ABC < 3 2 . 因此,△ABC 面积的取值范围是 3 8 , 3 2( ). 　 　 典例试做 3:(1) 由正弦定理,得 a = 2RsinA,b = 2RsinB,c = 2RsinC, 其中 R 为△ABC 外接圆半径, 则 2RsinBcosC = 6RsinAcosB - 2RsinCcosB, 故 sinBcosC = 3sinAcosB - sinCcosB, 可得 sinBcosC + sinCcosB = 3sinAcosB, 即 sin(B + C) = 3sinAcosB, 可得 sinA = 3sinAcosB. 又 sinA≠0,因此 cosB = 1 3 . (2)由BA→·BC→ = 2,得 accosB = 2. 由(1)知 cosB = 1 3 ,故 ac = 6, 由余弦定理,得 b2 = a2 + c2 - 2accosB, ∴ a2 + c2 = 12, ∴ (a - c)2 = 0,即 a = c,∴ a = c = 6. 　 　 跟踪练习 3:(1)因为 a = 3c,b = 2,cosB = 2 3 , 由余弦定理,得 cosB = a 2 + c2 - b2 2ac , 即 2 3 = (3c) 2 + c2 - ( 2)2 2 × 3c × c ,解得 c2 = 1 3 . 所以 c = 3 3 . (2)因为sinA a = cosB 2b , 由正弦定理 a sinA = b sinB ,得cosB 2b = sinB b , 所以 cosB = 2sinB. 从而 cos2 B = (2sinB)2 ,即 cos2 B = 4(1 - cos2 B), 故 cos2 B = 4 5 . 因为 sinB > 0,所以 cosB = 2sinB > 0,从而 cosB = 2 5 5 . 因此 sin B + π2( ) = cosB = 2 5 5 . 　 　 典例试做 4:在原解答中把“∵ 0 < A < π”后面的去掉,换为 ∵ 0 < A < π 0 < C < π C = 2π 3 - A{ ,∴ 0 < A < 2π3 ,∴ π6 < A + π6 < 5π6 , ∴ 1 2 < sin(A + π 6 )≤1,∴ 1 < a + c≤2. 　 　 典例试做 5:在锐角△ABC 中,根据正弦定理 a = 2RsinA,b = 2RsinB, 得 2RsinA = 4RsinBsinA,∴ sinB = 1 2 . ∵ B 为锐角,∴ B = π 6 . 令 y = cosA + sinC = cosA + sin[π - (B + A)] = cosA + sin( π 6 + A) = cosA + sin π 6 cosA + cos π 6 sinA = 3 2 cosA + 3 2 sinA = 3( 3 2 cosA + 1 2 sinA) = 3sin(A + π 3 ). 由锐角△ABC,知 π 2 - B < A < π 2 ,∴ π 3 < A < π 2 . ∴ 2π 3 < A + π 3 < 5π 6 ,∴ 1 2 < sin(A + π 3 ) < 3 2 . ∴ 3 2 < 3sin(A + π 3 ) < 3 2 ,即 3 2 < y < 3 2 . ∴ cosA + sinC 的取值范围是( 3 2 , 3 2 ). 课堂达标验收 1. C　 由正弦定理 a sinA = b sinB = 2R. 故选 C. 2. B　 由正弦定理,得 sinA cos A 2 = sinB cos B 2 = sinC cos C 2 , ∴ 2sin A 2 = 2sin B 2 = 2sin C 2 . 显然 A 2 + B 2 = π 或 B 2 + C 2 = π 或 A 2 + C 2 = π 均不成立. ∴ A 2 = B 2 = C 2 ,即 A = B = C,∴ △ABC 为等边三角形. 故选 B. 3. D