1.2.2 解三角形的实际应用举例——高度、角度问题（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

数学 （必修 5·人教 A 版）　 ∴ CD = 20,在△ACD 中,tan30° = AD CD , ∴ AD = 20 × 3 3 = 20 3 3 , ∴ OA = 20 3 3 + 1. 7≈13. 2. 4. 20 6 m　 ∠ABC = 180° - 75° - 45° = 60°, 所以由正弦定理,得 AB sinC = AC sinB , ∴ AB = ACsinC sinB = 60 × sin45° sin60° = 20 6 m. 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:在△ACD 中,∠ACD = 120°,∠CAD = ∠ADC = 30°, ∴ AC = CD = 3 km. 在△BCD 中,∠BCD =45°,∠BDC =75°,∠CBD =60°, ∴ BC = 3sin75° sin60° = 6 + 2 2 . 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2 = AC2 + BC2 - 2AC·BC·cos∠ACB = ( 3 )2 + ( 6 + 2 2 )2 - 2 3· 6 + 2 2 ·cos75° = 5. ∴ AB = 5(km). 答:A、B 之间的距离为 5 km. 　 　 跟踪练习 1:在△ABC 中,BC = 30 海里,B = 30°,∠ACB = 135°, ∴ ∠BAC = 15°, 由正弦定理 BC sinA = AC sinB ,即 30 sin15° = AC sin30° , AC = 15 sin15° = 15 sin(45° - 30°) = 15 sin45°cos30° - cos45°sin30° = 15 6 - 2 4 = 15( 6 + 2)(海里), 　 　 ∴ A 到直线 BC 的距离为 d = ACsin45° = 15( 3 + 1) ≈40. 98 海里 > 38 海里,所以继续向南航行,没有触礁危险. 　 　 典例试做 2:设货轮首次望 A 岛时位于 B 点,第二次时位于 C 点,依题意作图,如图所 示,过 A 作 AD⊥BC,交 BC 的延长线于点 D. 由已知得∠NBA = 75°,∠ACD = 60°,BC = 20 2n mile, 由正弦定理得 AC sin15° = 20 2 sin(180° - 15° - 120°) , 解得 AC = 10( 6 - 2)(n mile). 又 AD = AC·sin60° = 15 2 - 5 6(n mile) > 8(n mile). 故该货轮不改变航向前进并无触礁危险. 　 　 跟踪练习 2:(1)依题意,PA - PB = 1. 5 × 8 = 12(km),PC - PB = 1. 5 × 20 = 30(km). 因此 PB = (x - 12)km,PC = (18 + x)km. 在△PAB 中,AB = 20 km, cos∠PAB = PA 2 + AB2 - PB2 2PA·AB = x 2 + 202 - (x - 12)2 2x·20 = 3x + 32 5x . 同理,cos∠PAC =72 - x 3x . 由于 cos∠PAB = cos∠PAC, 即 3x + 32 5x = 72 - x 3x ,解得 x = 132 7 (km). (2)作 PD⊥a,垂足为 D. 在 Rt△PDA 中, PD = PAcos∠APD = PAcos∠PAB = x·3x + 32 5x = 3 × 132 7 + 32 5 ≈17. 71(km). 答:静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17. 71 km. 　 　 典例试做 3:如图,令∠ACD = α,∠CDB = β,在△CBD 中,由余弦定 理得 cosβ = BD 2 + CD2 - CB2 2BD·CD = 20 2 + 212 - 312 2 × 20 × 21 = - 1 7 ,∴ sinβ = 4 3 7 . 又 sinα = sin(β - 60°) = sinβcos60° - sin60°cosβ = 4 3 7 × 1 2 + 3 2 × 1 7 = 5 3 14 , 在△ACD 中, 21 sin60° = AD sinα , ∴ AD = 21 × sinα sin60° = 15(km). 答:这个人再走 15 km 就可以到达 A 城. 　 　 典例试做 4:(1)在△ABC 中,∵ cosA = 12 13 ,cosC = 3 5 , ∴ sinA = 5 13 ,∴ sinC = 4 5 , ∴ sinB = sin[π - (A + C)] = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC = 5 13 × 3 5 + 12 13 × 4 5