第一章章末整合提升（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

数学 （必修 5·人教 A 版）　 ∠MAC = 180° - 45° - 60° = 75°, 所以∠MCA = 180° - ∠AMC - ∠MAC = 45°. 由正弦定理,得 AC = AMsin∠AMC sin∠MCA = 400 2 × 3 2 2 2 =400 3(m). 在 Rt△ABC 中,BC = ACsin∠BAC = 400 3 × 3 2 = 600(m). 故选 C. 2. D　 在△BCD 中,由正弦定理得 BC = sin30° sin135° CD =15 2(m). 在 Rt△ABC 中, AB =BCtan60° =15 6(m). 故选 D. 3. 70 61 　 如下图,设经过 t 小时后,“ 白云号” 货轮行驶到 C 处,“ 蓝天号” 渔轮行驶到 D 处,由题意知 BC = 10t,AD = 8t, ∴ CD2 = AC2 + AD2 - 2AC·ADcos60° = (20 -10t)2 +64t2 -2(20 -10t)8t × 1 2 =244t2 -560t +400, ∴ 当 t = 70 61 时,CD2 取得最小值,从而两船相距最近. 4. 如图,因为 CD⊥平面 ABD,∠CAD = 45°,所以 CD = AD. 因此,只需在△ABD 中求出 AD 即可. 在△ABD 中,∠BDA = 180° - 45° - 120° = 15°. 由 AB sin15° = AD sin45° , 得 AD = AB·sin45° sin15° = 800 × 2 2 6 - 2 4 = 800( 3 + 1)(m). 所以 CD = AD = 800( 3 + 1)≈2 186(m). 所以山高 CD 约为 2 186 m. 章末整合提升 专题突破 　 　 典例试做 1: C 　 由余弦定理, 得 AC2 = AB2 + BC2 - 2AB × BC · cos π 4 = 2 + 9 - 2 × 2 × 3 × 2 2 = 5. ∴ AC = 5. 由正弦定理,得 AC sinB = BC sinA , ∴ sinA = BCsinB AC = 3 × 2 2 5 = 3 10 10 . 　 　 典例试做 2:(1)因为 a = 4,cosA = 3 4 ,sinB = 5 7 16 , 所以 sinA = 1 - cos2 A = 7 4 , 所以由正弦定理可得: b = asinB sinA = 4 × 5 7 16 7 4 = 5. (2)因为由余弦定理可得: a2 = b2 + c2 - 2bccosA, 可得:16 = 25 + c2 - 2 × 5 × c × 3 4 , 整理可得:2c2 - 15c + 18 = 0, 解得:c = 6 或 3 2 (由 c > 4,舍去), 所以△ABC 的周长 = a + b + c = 4 + 5 + 6 = 15. 　 　 典例试做 3:D　 由题设知 | c | a2 + b2 > 1, 即 a2 + b2 < c2 ,即 a2 + b2 - c2 < 0, 于是 cosC = a 2 + b2 - c2 2ab < 0, 所以∠C 为钝角. 故△ABC 为钝角三角形. 　 　 典例试做 4:(1)由已知和正弦定理得 2a2 = (2b + c)b + (2c + b)c, 即 a2 = b2 + c2 + bc. 由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccosA, 故 cosA = - 1 2 , 又 0° < A < 180°,所以 A = 120°. (2)由 a2 = b2 + c2 + bc 得 sin2 A = sin2 B + sin2 C + sinBsinC,① 由 sinB + sinC = 1 得 sin2 B + sin2 C + 2sinBsinC = 1. ② 由①②及 sinA = 3 2 , 得 sinBsinC = 1 4 . 又 sinB + sinC = 1, 故 sinB = sinC = 1 2 . 因为 0° < B < 90°,0° < C < 90°,故 B = C, 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 　 　 典例试做 5:(1) 由题意,在△ABC 中,∠ABC = 180° - 75° + 15° = 120°,AB = 2 3 - 2,BC = 4, 根据余弦定理得 AC2 = AB2 + BC2 - 2AB × BC × cos∠ABC = (2 3 - 2)2 + 42 + (2 3 - 2) × 4 = 24, 所以 AC = 2 6. (2)根据正弦定理得, sin∠BAC = 4 × 3 2 2 6 = 2 2 , 所以∠CAB = 45