2.5.1 等比数列的前n项和（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

现行旧教材·高中新课程学习指导 =0(舍去). 此时三个数为 8,2, -4. ③若 2 为等比中项,则 22 = (2 + d)·(2 - d),∴ d = 0(舍去). 综上可知此三数为 - 4,2,8. 　 　 典例试做 3:(1)C　 第一年价格为:8 100 × (1 - 1 3 ) = 5 400; 第二年价格为:5 400 × (1 - 1 3 ) = 3 600; 第三年价格为:3 600 × (1 - 1 3 )2 400. (2)8 公里　 5　 第一天跑 1 公里,第二天跑 2 公里,第三天跑 4 公 里,第四天跑 8 公里,16 > 10,第五天 8 公里,所以一天跑步的最大路程 是 8 公里,从第 5 天开始不能完成计划. 　 　 跟踪练习 3:C　 由已知可得 130 × (1 + 12% ) n - 1 ≥200, 即 1. 12n - 1 ≥200 130 , ∴ (n - 1)lg1. 12≥lg 200 130 , ∴ n - 1≥lg2 - lg1. 3 lg1. 12 = 3. 8. ∴ n≥5. 故选 C. 　 　 典例试做 4:解法一:设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, 则有 - 7 + 3d = - 1, - 4 × q4 = - 1, 解得 d = 2,q2 = 1 2 ,所以 a2 - a1 = d = 2,b2 = - 4 × q 2 = - 4 × 1 2 = - 2,所以 a2 - a1 b2 = 2 - 2 = - 1. 解法二:因为 - 7,a1 ,a2 , - 1 四个实数成等差数列,所以 a2 - a1 = 1 3 [( - 1) - ( - 7)] = 2, 因为 - 4,b1 ,b2 ,b3 , - 1 五个实数成等比数列, 所以 - 4,b2 , - 1 成等比数列,所以 b 2 2 = ( - 4) × ( - 1) = 4,所以 b2 = 2 或 b2 = - 2, 由 b21 = - 4 × b2 > 0 知 b2 < 0,所以 b2 = - 2, 所以 a2 - a1 b2 = 2 - 2 = - 1. 　 　 典例试做 5:解法一:设等比数列{an }的公比为 q, 由题意,得 a1 q 2 + a1 q 5 = 36 a1 q 3 + a1 q 6 = 18{ ,解得 a1 = 128 q = 1 2 { . ∴ an = a1 q n - 1 = 128 × ( 1 2 ) n - 1 = 1 2 ,∴ ( 1 2 ) n - 1 = ( 1 2 )8 ,∴ n - 1 = 8,∴ n = 9. 解法二:设等比数列{an }的公比为 q,∵ a3 + a6 = 36, ∴ a4 + a7 = a3 q + a6 q = q(a3 + a6 ) = 36q = 18,∴ q = 1 2 . ∴ a3 + a6 = a3 + a3 q 3 = a3 (1 + q 3 ) = 9 8 a3 = 36,∴ a3 = 32,∴ an = a3 q n - 3 = 32 × ( 1 2 ) n - 3 = 1 2 , ∴ ( 1 2 ) n - 3 = ( 1 2 )6 ,∴ n - 3 = 6,∴ n = 9. 课堂达标验收 1. C　 当两个数列都是等比数列时,这两个数列的和不一定是等比数列, 比如取两个数列是互为相反数的数列,两者的和就不是等比数列. 两 个等比数列的积一定是等比数列. 2. B　 ∵ a2 a11 = a4 a9 ,∴ a4 a9 = 6, 又 a4 + a9 = 5, 且 an < an + 1 ,∴ a4 = 2,a9 = 3, 又 a6 a11 = a4 a9 = 2 3 ,故选 B. 3. A　 由等比数列的性质,得 a4 a6 = a5 2 ,a2 a4 = a3 2 , ∴ (a3 + a5 ) 2 = a3 2 + 2a3 a5 + a5 2 , = a2 a4 + 2a3 a5 + a4 a6 = 25, ∴ a3 + a5 = ± 5. ∵ an > 0,∴ a3 + a5 = 5. 4. 567　 解法一:可知 a4 、a6 、a8 、a10 、a12 成等比数列. 其公比为 a6 a4 = 21 7 = 3,所以 a12 = a4 ·3 5 - 1 = 7 × 34 = 567. 解法二:设等比数列{an }的公比为 q,则 a6 a4 = q2 = 3. ∴ a12 = a4 ·q 8 = 7 × 34 = 567. 解法三:由 a4 = 7 a6 = 21 { ,得 a1 q 3 = 7 a1 q 5 = 21{ ,两式相比得 q 2 = 3. a12 = a1 ·q 11 = (a1 ·q