第三章 3.2 双曲线（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

新教材·高中新课程学习指导 ∴ S△OPQ = 2 t 3 16 ( t - 1) 2 + 14 ( t - 1) = 12 - 1 t2 - 2t + 3 < 3 2 ,综上可知 S△OPQ≤ 3 2 . 故△OPQ 面积的最大值 32 . 易错警示 　 　 典例 5:由已知,设椭圆方程为 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0), 则 a︰b = 2︰1,即 a = 2b. 椭圆方程化为 x 2 4b2 + y 2 b2 = 1,其中 | y | ≤b, | x |≤2b. 已知圆的标准方程为 x2 + (y - 2) 2 = 1,圆心 A(0,2),半径 R = 1. 设 Q(x,y),则 x2 = 4b2 - 4y2 . |QA | 2 = x2 + (y - 2) 2 = 4b2 - 4y2 + (y - 2) 2 = - 3 y + 23( ) 2 + 4b2 + 163 . 当 b≥ 23 时,∵ | y |≤b,∴ | AQ | max = 4b 2 + 163 . |PQ | max = R + |AQ | max = 1 + 16 3 + 4b 2 = 1 + 2 213 . 解得 b = 1≥ 23 ,符合条件. 当 b < 23 时,∵ | y |≤b, ∴ |AQ | max = | b + 2 | , | PQ | max = R + | AQ | max = 1 + | b + 2 | = 1 + 2 21 3 . 解得 b = 2 21 3 - 2 > 2 3 (舍去) . ∴ 所求椭圆方程为 x 2 4 + y 2 = 1. 课堂检测·固双基 1. C　 由椭圆过点(2,2),且焦点在 x 轴上,排除 A、B、D,选 C. 2. D　 令 x = 0,得 y = 1,令 y = 0,得 x = - 2,由题意知椭圆的半焦距 c = 2,短半轴长 b = 1,∴ a = 5,∴ 离心率 e = ca = 2 5 5 . 3. C　 联立 y = x + 1, x2 4 + y2 2 = 1, { 消去 y,得 3x2 + 4x - 2 = 0, 设直线与椭圆交于点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1 + x2 = - 4 3 , 故 AB 的中点横坐标 x0 = x1 + x2 2 = - 2 3 . 纵坐标 y0 = x0 + 1 = - 2 3 + 1 = 1 3 . 4. (1)由 F1( - 2 2,0)、F2(2 2,0),长轴长为 6, 得:c = 2 2,a = 3,所以 b = 1. ∴ 椭圆方程为 x 2 9 + y 2 = 1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)可知椭圆方程为 x 2 9 + y 2 = 1,① ∵ 直线 AB 的方程为 y = x + 2,② 把②代入①得化简并整理得 10x2 + 36x + 27 = 0, ∴ x1 + x2 = - 18 5 ,x1 x2 = 27 10 , 又 |AB | = (1 + 12)(18 2 52 - 4 × 2710 ) = 6 3 5 . 3. 2　 双曲线 3. 2. 1　 双曲线及其标准方程 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 1. 绝对值　 3. 定点 F1,F2 　 4. 两焦点间 思考:(1)当距离之差的绝对值等于 | F1F2 | 时,动点的轨迹是两条 射线,端点分别是 F1,F2,当距离之差的绝对值大于 |F1F2 |时,动点的轨 迹不存在. (2)点 M 在双曲线的右支上. 　 　 知识点 2　 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 　 y 2 a2 - x 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 　 ( - c,0),(c,0) 　 (0, - c),(0,c) 　 a2 + b2 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:(1)设 |MF1 | = 16, 根据双曲线的定义知 | |MF2 | - 16 | = 6, 即 |MF2 | - 16 = ± 6. 解得 |MF2 | = 10 或 |MF2 | = 22. (2)由 x 2 9 - y2 16 = 1,得 a = 3,b = 4,c = 5. 由定义和余弦定理得 |PF1 | - |PF2 | = ± 6, |F1F2 | 2 = |PF1 | 2 + |PF2 | 2 - 2 |PF1 | |PF2 | cos 60°, 所以 102 = ( |PF1 | - |PF2 | ) 2 + |PF1 |· |PF2 | , 所以 |PF1 |· |PF2 | = 64, ∴ S = 12 |PF1 |· |PF2 |·sin∠F1PF2 = 1