第二章章末整合提升（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

数学 （必修 5·人教 A 版）　 ③当 n = 1 时,f( 1 n ) = f(1) = 1 6 ,也符合 n 4 - 1 12 . 综合①,②,③得 f( 1 n ) + f( 2 n ) + … + f(n - 1 n ) + f( n n ) = n 4 - 1 12 . 　 　 典例试做 5:Sn = 1 + a + a 2 + … + an - 1 , 当 a = 1 时,Sn = 1 + 1 + … + 1 = n;当 a≠1 且 a≠0 时, Sn = 1 - an 1 - a = a n - 1 a - 1 . 当 a = 0 时满足上式. ∴ Sn = n　 (a = 1) an - 1 a - 1 (a≠1){ . 　 　 典例试做 6:(1)设等差数列{an }的公差为 d, 则 a2 = a1 + d,a3 = a1 + 2d, 由题意得 3a1 + 3d = - 3 a1 (a1 + d)(a1 + 2d) = 8 { ,解得 a1 = 2d = - 3{ 或 a1 = - 4 d = 3{ . 所以由等差数列通项公式可得 an = 2 - 3(n - 1) = - 3n + 5,或 an = - 4 + 3(n - 1) = 3n - 7. 故 an = - 3n + 5,或 an = 3n - 7. (2)当 an = - 3n + 5 时,a2 ,a3 ,a1 分别为 - 1, - 4,2,不成等比数列, 不满足条件; 当 an = 3n - 7 时,a2 ,a3 ,a1 分别为 - 1,2, - 4, 成 等 比 数 列, 满 足条件. 故 | an | = |3n - 7 | = - 3n + 7　 (n = 1,2) 3n - 7 (n≥3){ . 记数列{ | an | } 的前 n 项 和为 Sn. 当 n = 1 时,S1 = | a1 | = 4;当 n = 2 时,S2 = | a1 | + | a2 | = 5; 当 n≥3 时, Sn = S2 + | a3 | + | a4 | + … + | an | = 5 + (3 × 3 - 7) + (3 × 4 - 7) + … + (3n - 7) = 5 + (n - 2)[2 + (3n - 7)] 2 = 3 2 n2 - 11 2 n + 10. 当 n = 2 时,满足此式. 综上,Sn = 4　 　 　 　 　 　 　 (n = 1) 3 2 n2 - 11 2 n + 10 (n > 1){ . 课堂达标验收 1. A　 由题设知,数列的通项为 an = 2n - 1 + 1 2n ,显然数列的各项为等差 数列{2n - 1} 和等比数列{ 1 2n } 相应项的和,从而 Sn = [1 + 3 + … + (2n - 1)] + ( 1 2 + 1 4 + … + 1 2n ) = n2 + 1 - 1 2n . 2. C　 因为 an = 1 n + n + 1 = n + 1 - n,所以 Sn = a1 + a2 + … + an = ( 2 - 1) + ( 3 - 2) + … + ( n + 1 - n) = n + 1 - 1 = 10,解得 n = 120. 3. D　 据已知可得每次截取的长度构造一个以 1 2 为首项,以 1 2 为公比 的等比数列, ∵ 1 2 + 1 22 + … + 1 2n + … = 1 - 1 2n < 1. 故选 D. 4. 510　 由 a1 + a4 = 18 和 a2 + a3 = 12, 得方程组 a1 + a1 q 3 = 18, a1 q + a1 q 2 = 12,{ 解得 a1 = 2,q = 2 或 a1 = 16,q = 0. 5. 因为 q 为整数,所以 q = 2,a1 = 2,S8 = 2 × (1 - 28 ) 1 - 2 = 29 - 2 = 510. 5. q 2n - 1 a2 q(q2n - q2n - 2 ) 　 1 a1 a2 , 1 a2 a3 ,…, 1 anan + 1 是首项为 1 a1 a2 = 1 a2 q ,公比为 1 q2 的等比数列, 所以 1 a1 a2 + 1 a2 a3 + … + 1 anan + 1 = 1 a2 q [1 - ( 1 q2 ) n ] 1 - 1 q2 = q 2n - 1 a2 q(q2n - q2n - 2 ) . 章末整合提升 专题突破 　 　 典例试做 1:(1)注意各项的分子分别是 12 ,22 ,32 ,42 ,…,分母比分 子大 1, ∴ 该数列的通项公式为 an = n2 n2 + 1 . (2)奇数项为正,偶数项为负,可用( - 1) n + 1 来实