1.1.2 基本不等式-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 ∴ f( - 2) = 4a - 2b = 3f( - 1) + f(1). ∵ 1≤f( - 1)≤2,3≤f(1)≤4, ∴ 6≤f( - 2)≤10. 解法二:设 f(x) = ax2 + bx(a≠0), 则 f(1) = a + b,f( - 1) = a - b, 令 m(a + b) + n(a - b) = f( - 2) = 4a - 2b, ∴ m + n = 4,m - n = - 2,{ ∴ m = 1,n = 3.{ ∴ f( - 2) = (a + b) + 3(a - b) = f(1) + 3f( - 1). ∵ 1≤f( - 1)≤2,3≤f(1)≤4, ∴ 6≤f( - 2)≤10. 2. 基本不等式 新知导学 　 　 1. R　 a = b 2. (1)a、b > 0　 a = b　 (2)a + b 2 　 ab　 (3)算术平均　 几 何平均　 (4)中线　 高 3. (1)≥　 x = 1　 (2)≥　 ≤　 ≤　 ≥　 (3)≤　 ≤　 ≥ 4. (1)定值　 最小值　 (2)定值　 最大值 思考运用:函数 f(x) = x + 1 x 的最小值不是 2. 当 x > 0 时,f(x) = x + 1 x ≥2 x· 1 x = 2;(当且仅当 x = 1 时取等号) 当 x < 0 时,f(x) = x + 1 x = - [( - x) + 1 - x ]≤ - 2. (当且仅当 x = - 1 时取等号) 显然 f(x)无最小值,也无最大值. 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:∵ a、b、c∈R + ,a + b + c = 1, ∴ 1 a - 1 = 1 - a a = b + c a ≥2 bc a . 同理: 1 b - 1≥2 ac b , 1 c - 1≥2 ab c . 由于上述三个不等式两边均为正,分别相乘, 得( 1 a - 1)( 1 b - 1)( 1 c - 1)≥2 bc a ·2 ac b ·2 ab c = 8,当且仅当 a = b = c = 1 3 时取等号. 　 　 跟踪练习 1:证明:(1)由 a2 + 1 9 ≥2 a2 · 1 9 = 2 3 a,b2 + 1 9 ≥2 b2 · 1 9 = 2 3 b, c2 + 1 9 ≥2 c2 · 1 9 = 2 3 c,相加得: a2 + b2 + c2 + 1 3 ≥ 2 3 (a + b + c) = 2 3 , 当且仅当 a = b = c = 1 3 时取等号. 所以 a2 + b2 + c2 ≥ 1 3 . (2)由 a > 0,b > 0,c > 0,所以 a· 1 3 ≤ a + 1 3 2 , b· 1 3 ≤ b + 1 3 2 , c· 1 3 ≤ c + 1 3 2 . 相加得: a + b + c 3 ≤a + b + c + 1 2 = 1 所以 a + b + c≤ 3. 当且仅当 a = b = c = 1 3 时取等号. 　 　 典例试做 2:(1)因为 x + 2y = 1,x > 0,y > 0, 所以 1 x + 1 y = x + 2y x + x + 2y y = 3 + 2y x + x y ≥3 + 2 2y x · x y = 3 + 2 2……(拆), 当且仅当 2y x = x y ,又 x + 2y = 1 即 x = 2 - 1,y = 1 - 2 2 时等式成立. 所以当 x = 2 - 1,y = 1 - 2 2 时, 1 x + 1 y 取最小值 3 + 2 2. (2)xy = 1 35 (5x·7y)≤ 1 35 (5x + 7y 2 )2 = 1 35 ( 20 2 )2 = 20 7 . ……(配系数), 当且仅当 5x =7y =10,即 x =2,y = 10 7 时,xy 取最大20 7 . (3)因为 x < 5 4 ,所以 4x - 5 < 0,故 5 - 4x > 0, 所以 y = 4x - 1 + 1 4x - 5 = - (5 - 4x + 1 5 - 4x ) + 4……( 凑, 负化正) 因为 5 - 4x + 1 5 - 4x ≥2 (5 - 4x) 1 5 - 4x = 2, 所以 y≤ - 2 + 4 = 2. 当且仅当 5 -4x = 1 5 -4x ,即 x =1 或 x = 3 2 (舍)时,等式成立, 所以当 x = 1 时,y 取最大值为 2. (4)a 1 + b2 = a 2( 1 2 + b 2 2 ) = 2 a· 1 2 + b 2 2 ≤ 2 2 [a2 + ( 1 2 + b 2 2 )] = 3 2 4 . 当且仅当 a