1.2.1 绝对值三角不等式-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 所以 x2 y3 z 的最大值为 1. 9. (1)∵ x > 0, 3 x = 3 2x + 3 2x > 0, 且 x2 · 3 2x · 3 2x = 9 4 (定值), ∴ y = x2 + 3 x = x2 + 3 2x + 3 2x ≥3 3 x2 · 3 2x · 3 2x = 3 3 9 4 = 3 2 3 18. 当 x2 = 3 2x 时,即 x = 3 3 2 时,等号成立, ∴ y最小值 = 3 2 3 18. (2)∵ x > 0,a > x 且 x 2 + x 2 + (a - x) = a(常数), ∴ y = x2 (a - x) = 4·[ x 2 · x 2 ·(a - x)] ≤4· [ x 2 + x 2 + (a - x) 3 ] 3 = 4 × a 3 27 = 4 27 a3 , 当 x 2 = a - x,即有 x = 2 3 a 时等号成立,∴ y最大值 = 4 27 a3 . 10. 证明:(证法一) 因为 a、b、c 均为正数,由平均值不等式得 a2 + b2 + c2 ≥3(abc) 2 3 ① 1 a + 1 b + 1 c ≥3(abc) - 1 3 所以 1 a + 1 b + 1 c( ) 2 ≥9(abc) - 2 3 ② 故 a2 + b2 + c2 + 1a + 1 b + 1 c( ) 2 ≥3(abc) 2 3 + 9(abc) - 2 3 . 又 3(abc) 2 3 + 9(abc) - 2 3 ≥2 27 = 6 3 ③ 所以原不等式成立. 当且仅 当 a = b = c 时, ① 式 和 ② 式 等 号 成 立. 当 且 仅 当 3(abc) 2 3 = 9(abc) - 2 3 时,③式等号成立. 即当且仅当 a = b = c = 3 1 4 时,原式等号成立. (证法 2) 因为 a、b、c 均为正数,由基本不等式得 a2 + b2 ≥2ab, b2 + c2 ≥2bc, c2 + a2 ≥2ac. 所以 a2 + b2 + c2 ≥ab + bc + ac ① 同理 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ≥ 1 ab + 1 bc + 1 ac ② 故 a2 + b2 + c2 + 1a + 1 b + 1 c( ) 2 ≥ab + bc + ac + 3 1 ab + 3 1 bc + 3 1 ac ≥6 3. ③ 所以原不等式成立. 当且仅当 a = b = c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a = b = c,(ab)2 = (bc)2 = (ac)2 = 3 时,③式等号成立. 即当且仅当 a = b = c = 3 1 4 时,原式等号成立. B 级　 素养提升 1. D 　 ∵ a + 1 b(a -b) = ( a - b ) + b + 1 b(a -b) ≥ 3 3 (a -b)·b· 1 b(a -b) =3,当且仅当 a =2,b =1 时取等号, ∴ a + 1 b(a - b) 的最小值为 3. 2. B　 由定理 3 可知,a + b + c 3 ≥ 3 abc, 而 z2 - x2 = a 2 + b2 + c2 3 - a + b + c3( ) 2 = (a - b) 2 + (b - c)2 + (c - a)2 9 ≥0, 又∵ z > 0,x > 0,∴ z≥x, 故 y≤x≤z. 3. 8　 ∵ a > 2,b > 3,∴ a - 2 > 0,b - 3 > 0, 则 a + b + 1 (a - 2)(b - 3) = (a - 2) + (b - 3) + 1 (a - 2)(b - 3) + 5 ≥3 3 (a - 2) × (b - 3) × 1 (a - 2)(b - 3) + 5 = 8, 当且仅当 a - 2 = b - 3 = 1 (a - 2)(b - 3) 时等号成立. 4. ②③ 5. 3　 ∵ xy > 0,x2 y > 0, ∴ xy + x2 = 1 2 xy + 1 2 xy + x2 ≥3 3 1 4 x4 y2 = 3 3 1 4 ·22 = 3, 当且仅当 1 2 xy = x2 ,即 y = 2x 时,等号成立. 6. 解: 由 基 本 不 等 式, 得 4a + 4b + 4c2 ≥ 3 3 4a·4b·4c2 = 3 3 4a + b + c2 (当且仅当 a = b = c2 时,等号成立). ∵ a + b + c = 1, ∴ a + b = 1 - c. 则 a + b + c2 = c2 - c + 1 = (c - 1 2 )2 + 3 4 , 当 c = 1 2 时,a + b + c2 取