第三讲归纳总结-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 b≥c,a2 ≥b2 ≥c2 ,所以 a2 × a + b2 × b + c2 × c≥a2 b + b2 c + c2 a. 5. A　 利用排序原理,可求得 5 台机床修复时间最少 84min,所 以最少损失为 84 × 5 = 420 元,故选 A. 6. ≥　 不妨设 a≥b≥c,则有 A≥B≥C. 由排序不等式,可得 aA + bB + cC≥aA + bC + cB, aA + bB + cC≥aB + bA + cC, aA + bB + cC≥aC + bB + cA. 将以上三个式子两边分别相加, 得 3(aA + bB + cC)≥(a + b + c) (A + B + C) = (a + b + c) π. 所以 aA + bB + cC a + b + c ≥ π 3 . 7. 解:不妨设 0 < a1 ≤a2 ≤…≤an,则 1 a1 ≥ 1 a2 ≥…≥ 1 an ,因为 c1 , c2 ,…,cn 是 a1 ,a2 ,…,an 的一个排列,所以 1 c1 , 1 c2 ,…, 1 cn 是 1 a1 , 1 a2 ,…, 1 an 的一个排列,故由排序不等式:逆序和≤乱序 和,得 a1 · 1 a1 + a2 · 1 a2 + … + an · 1 an ≤a1 · 1 c1 + a2 · 1 c2 + … + an· 1 cn ,即 a1 c1 + a2 c2 + … + an cn ≥n,当且仅当 a1 = a2 = … = an > 0 时等号成立. 8. 证明:不妨设 a1 ≤an≤…≤an, b1 ≥b2 ≥…≥bn, 则由排序原理,得 a1 b1 + a2 b2 + … + anbn = a1 b1 + a2 b2 + … + anbn, a1 b1 + a2 b2 + … + anbn≤a1 b2 + a2 b3 + … + anb1 , a1 b1 + a2 b2 + … + anbn≤a1 b3 + a2 b4 + … + an - 1 b1 + anb2 , … a1 b1 + a2 b2 + … + anbn≤a1 bn + a2 b1 + … + anbn - 1 , 将上述 n 个式子相加,得 n(a1 b1 + a2 b2 + … + anbn)≤(a1 + a2 + … + an)(b1 + b2 + … + bn). 上式 两 边 除 以 n2, 得 a1b1 + a2b2 + … + anbn n ≤ a1 + a2 + … + an n · b1 + b2 + … + bn n , 当且仅当 a1 = a2 = … = an 或 b1 = b2 = … = bn 时,等号成立. 本讲归纳总结 　 　 典例试做 1:由柯西不等式,得 (12 + 22 + 12 ) × [(y - 1)2 + (3 - x - y)2 + (2x + y - 6)2 ]≥ [1 × (y - 1) + 2 × (3 - x - y) + 1 × (2x + y - 6)]2 = 1, 即(y - 1)2 + (x + y - 3)2 + (2x + y - 6)2 ≥ 1 6 . 当且仅当 y - 1 1 = 3 - x - y 2 = 2x + y - 6 1 , 即 x = 5 2 ,y = 5 6 时,上式取等号. 故所求值为 x = 5 2 ,y = 5 6 . 　 　 典例试做 2:1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + … + 1 2n - 1 - 1 2n = (1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 2n ) - 2( 1 2 + 1 4 + … + 1 2n ) = 1 n + 1 + 1 n + 2 + … + 1 2n , 所以求证式等价于 4 7 < 1 n + 1 + 2 n + 2 + … + 1 2n < 2 2 . 由柯西不等式,有( 1 n + 1 + 1 n + 2 + … + 1 2n )[(n + 1) + (n + 2) + … + 2n] > n2 , 于是, 1 n + 1 + 1 n + 2 + … + 1 2n > n 2 (n + 1) + (n + 2) + … + 2n = 2n 3n + 1 = 2 3 + 1 n ≥ 2 3 + 1 2 = 4 7 , 又 由 柯 西 不 等 式, 有 1 n + 1 + 1 n + 2 + … + 1 2n < (12 + 12 + … + 12 )[ 1 (n + 1)2 + 1 (n + 2)2 + … + 1 (2n)2 ] < n( 1 n - 1 2n ) = 2 2 . 综上,原不等式成立. 　 　 典例试做 3:(1